2012-广东卷理-10 填-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)）

${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为$\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 因为需要求解展开式中特定项的系数，所以根据二项展开式的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 列出代数通项式。

2. 因为通项式中含有分式，所以利用负整数指数幂的性质 $\frac{1}{x}=x^{-1}$ 将其化简，并利用同底数幂的乘法法则合并自变量 $x$ 的总指数。

3. 因为目标项是 $x^3$，所以令化简后 $x$ 的总指数等于 $3$，构建关于 $r$ 的一元一次方程，解出 $r$ 后反代回组合数计算出最终系数。

✅【答案】

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20

✍【详细解析】

Abstract

因为 已知二项式为 ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^6$，其中总幂次 $n=6$，

所以 根据二项式定理的通项公式满足：

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot (x^2{)}^{6-r}\cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}^r(0\le r\le 6,r\in \mathbb{N})$

因为 根据指数幂的运算法则， $(x^2{)}^{6-r}=x^{12-2r}$ 且 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^r=(x^{-1}{)}^r=x^{-r}$，

所以 将通项式中的底数统一并合并同底数幂的指数部分：

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot x^{12-2r}\cdot x^{-r}$

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot x^{12-2r-r}$

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot x^{12-3r}\text{(1)}$

因为 目标项为 $x^3$ 的项，

所以 令①式中 $x$ 的总指数严格等于 $3$：

$12-3r=3$

$3r=9⟹r=3$

because $r=3$ 满足约束条件 $0\le r\le 6$ 且为整数，说明展开式中的第 $4$ 项（即 $T_4$ ）包含 $x^3$。

将 $r=3$ 代回①式的系数部分中进行组合数数值计算：

$\text{系数}={\mathrm{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$

所以， ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $20$。

故答案为：20

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}$ 的代数建立、分式转换负指数幂、指定幂次的方程求解。

2. 核心方法：通项公式法。通过构建 $12-3r=3$ 指数方程精准锁定项数。

3. 避坑指南：

• 因为在计算组合数 ${\mathrm{C}}_6^3$ 时容易粗心算错，牢记 ${\mathrm{C}}_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$，不要与排列数 ${\mathrm{A}}_6^3=120$ 混淆。

• 区分“第几项”与“ $r$ 的值”。本题中虽然 $r=3$，但它代表的是展开式中的第 $r+1=4$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第六章《计数原理》中关于二项式定理应用的章末常规标准填空题。

2. 结论推广：对于形如 ${\left(x^a+x^b\right)}^n$ 的二项式展开式，其通项中 $x$ 的指数部分为 $a(n-r)+br$。若要求 $x^m$ 的系数，可通过求解一元一次方程 $an-(a-b)r=m$ 来直接确定 $r$ 的值。若解出的 $r$ 不是 $[0,n]$ 之间的整数，则说明该展开式中不包含 $x^m$ 项，其系数为 0。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷理-13 填-二项式定理

• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项

• 2024-北京卷-04 单-二项式定理