2012-广东卷理-11 填-数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及一元二次方程的求解与检验。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 已知递增的等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$, $a_3=a_2^2-4$, 则 $a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设等差数列的公差为 $d$，则 $a_2=1+d$, $a_3=1+2d$。
2. 将项的表达式代入已知关系式 $a_3=a_2^2-4$，构建关于 $d$ 的一元二次方程。
3. 根据递增等差数列满足 $d>0$ 对公差进行筛选，确定最终的通项公式。

✅【答案】

点击查看答案

$2n-1$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 根据等差数列通项公式，可得： $a_2=1+d$ $a_3=1+2d$

将上述代数式代入已知关系式 $a_3=a_2^2-4$ 中： $1+2d=(1+d{)}^2-4$

展开完全平方式并化简： $1+2d=1+2d+d^2-4$ $d^2-4=0⟹d^2=4$

解得公差候选值： $d=2\text{或}d=-2$

因为数列 $\{a_n\}$ 为递增等差数列， 所以公差必须满足 $d>0$，故舍去 $d=-2$，留取 $d=2$。

将 $a_1=1,d=2$ 代入等差数列通项公式： $a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$

故答案为：$2n-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列基本量的代数化简与单调性条件的约束。
2. 核心方法：基本量法。
3. 避坑指南：必须注意“递增”这一核心前提限制，若忽略该约束漏舍负根 $d=-2$，会导致最终错算出一组多余的非合规通项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第三章《数列》中关于等差数列基本性质的章末常规复习填空题。
2. 结论推广：在求解包含单体项非线性关系的数列小题时，将所有项通过首项 $a_1$ 与公差 $d$ 统一表征，并引入单调性算子（递增对应 $d>0$，递减对应 $d<0$）作为边界约束对多重根进行留弃检验，是解决此类问题的通用代数策略。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结 类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项

• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和