2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式

本题导读

本题考查等差数列。核心在于基本量法、分类讨论思想的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1+a_3=8$，且 $a_4$ 为 $a_2$ 和 $a_9$ 的等比中项，求数列 $\{a_n\}$ 的首项、公差及前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设基本量：设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。
2. 列方程组：
   • 根据 $a_1+a_3=8$，利用通项公式得 $a_1+(a_1+2d)=8$。
   • 根据等比中项定义，$a_4^2=a_2\cdot a_9$，代入 $a_n=a_1+(n-1)d$ 建立二次方程。
3. 求解：联立方程组求出 $a_1$ 与 $d$。
4. 求和：根据求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 计算最终结果。

✅【答案】

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情况 1：$d=0$；情况 2：$d-3a_1=0⟹d=3a_1$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设该等差数列的公差为 $d$，前 $n$ 项和为 $S_n$。 由已知条件可得：

$$\{\begin{array}{l}{a}_1+(a_1+2d)=8\\ (a_1+3d{)}^2=(a_1+d)(a_1+8d)\end{array}$$

整理第一个方程得：$a_1+d=4$ ① 展开第二个方程：$a_1^2+6a_{1}d+9d^2=a_1^2+9a_{1}d+8d^2$ 化简得：$d^2-3a_{1}d=0$，即 $d(d-3a_1)=0$ ②

由方程 ② 可知，存在两种情况：

情况 1：$d=0$ 代入 ① 得 $a_1=4$。 此时数列为常数列 $4,4,4,\dots$ 前 $n$ 项和 $S_n=4n$。

情况 2：$d-3a_1=0⟹d=3a_1$ 代入 ① 得 $a_1+3a_1=4$，解得 $a_1=1$。 进而 $d=3\times 1=3$。 前 $n$ 项和 $S_n=n\times 1+\frac{n(n-1)}{2}\times 3=n+\frac{3n^2-3n}{2}=\frac{3n^2-n}{2}$。

综上所述： 数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $4$，公差为 $0$，前 $n$ 项和 $S_n=4n$； 或数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $1$，公差为 $3$，前 $n$ 项和 $S_n=\frac{3n^2-n}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量的计算是高考常考点。

核心方法：“基本量法”。将所有条件都转化为 $a_1$ 和 $d$ 的关系，通过解方程组突破。

避坑指南：- 容易漏掉 $d=0$ 的情况。除非题目明确说明公差不为 0 或数列为递增/递减数列，否则必须保留。 - 等比中项的定义是 $b^2=ac$，应用时注意不要写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的性质、二次方程的判别式。

结论推广：在等差数列中，$a_n$ 是关于 $n$ 的一次函数（$d\ne 0$），$S_n$ 是关于 $n$ 的缺常数项的二次函数。

方法推广：若条件涉及多项和，可优先考虑等差中项性质 $a_1+a_3=2a_2=8$，从而直接得到 $a_2=4$，简化运算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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