2012-新课标卷理-03 单-复数的运算与概念

本题导读

本题考查复数的运算与概念，以及真命题的判断。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

下面是关于复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 的四个命题：$p_1$：$|z|=2$；$p_2$：$z^2=2i$；$p_3$：$z$ 的共轭复数为 $1+i$；$p_4$：$z$ 的虚部为 $-1$.其中的真命题为

()

A. $p_2,p_3$

B. $p_1,p_2$

C. $p_2,p_4$

D. $p_3,p_4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简 $z=\frac{2}{-1+i}=-1-i$。

2. 逐一验证 $p_1\sim p_4$。

3. 确定真命题。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$z=\frac{2}{-1+i}=\frac{2(-1-i)}{2}=-1-i$。

$|z|=\sqrt{2}$，$p_1$ 假；$z^2=(-1-i{)}^2=2i$，$p_2$ 真；

共轭复数 $=-1+i$，$p_3$ 假；虚部 $=-1$，$p_4$ 真。

真命题为 $p_2,p_4$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的四则运算

核心方法：共轭复数与模

避坑指南：命题真假的判断

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于复数的概念与运算

结论推广：可推广到复数方程的求解

方法推广：复数除法先分子分母同乘分母共轭

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-18 解-复数的代数形式及运算

• 2005-北京卷理-09 填-复数的代数除法运算

• 2005-湖北卷理-03 单-复数的四则运算