2012-新课标卷理-04 单-椭圆的离心率

本题导读

本题考查椭圆离心率的求解，以及等腰三角形的几何关系。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

设 $F_1,F_2$ 是椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为直线 $x=\frac{3a}{2}$ 上一点，$△F_{2}P{F}_1$ 是底角为 $30^{\circ }$ 的等腰三角形，则 $E$ 的离心率为

()

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由底角 $30^{\circ }$ 的等腰三角形，得 $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$。

2. $P$ 在 $x=\frac{3a}{2}$ 上，横坐标与 $F_2$ 的水平距离 $=\frac{3a}{2}-c$。

3. 由 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 建立方程求离心率。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$|F_1{F}_2|=2c$，等腰且底角 $30^{\circ }$，故顶角 $\angle P{F}_2{F}_1=120^{\circ }$，$|P{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$。

$P$ 到 $F_2$ 的水平距离 $=\frac{3a}{2}-c$。

$\cos 60^{\circ }=\frac{\frac{3a}{2}-c}{2c}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{3a}{2}-c=c\Rightarrow \frac{3a}{2}=2c\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{3}{4}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率

核心方法：等腰三角形的性质

避坑指南：几何关系建立方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆的定义与离心率

结论推广：可推广到焦点三角形的离心率问题

方法推广：离心率 $e=\frac{c}{a}$ 常与几何关系联立

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-广东卷-05 单-椭圆的标准方程与几何性质

• 2005-湖南卷理-19 解-椭圆的几何性质与离心率

• 2008-北京卷文-16 解-三棱锥垂直与二面角