2008-北京卷文-16 解-三棱锥垂直与二面角

本题导读

考查线面垂直与二面角。取 $AB$ 中点 $D$，$PD$、$CD$ 都垂直 $AB$，得 $AB\perp$ 平面 $PCD$，即 $PC\perp AB$；建系后平面 $APC$ 即 $y=0$，平面 $ABP$：$x+y+z=2$，$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AC=BC=2$，$\angle ACB=90^{\circ }$，$AP=BP=AB$，$PC\perp AC$.

(1)求证：$PC\perp AB$；

(2)求二面角 $B-AP-C$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. $AC=BC=2$、$\angle ACB=90^{\circ }$ 得 $AB=2\sqrt{2}$；$AP=BP=AB=2\sqrt{2}$，$△ABP$ 等边。
2. 取 $AB$ 中点 $D$：等边三角形中 $PD\perp AB$，等腰三角形中 $CD\perp AB$，故 $AB\perp$ 平面 $PCD$，$AB\perp PC$。
3. (2)建系：$C(0,0,0)$、$A(2,0,0)$、$B(0,2,0)$；$PC\perp AC$ 且 $P$ 在 $AB$ 垂直平分面 $x=y$ 上，得 $P(0,0,2)$。
4. 平面 $APC$ 为 $y=0$（法向量 $(0,1,0)$），平面 $ABP$：$x+y+z=2$（法向量 $(1,1,1)$），投影确认二面角为锐角。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)二面角 $B-AP-C$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为 $AC=BC=2$，$\angle ACB=90^{\circ }$，所以 $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=2\sqrt{2}$，且 $AP=BP=AB=2\sqrt{2}$. 设 $AB$ 的中点为 $D$，连接 $PD$、$CD$. 在等边三角形 $ABP$ 中，$PD\perp AB$；在等腰三角形 $ABC$ 中，$CD\perp AB$. 又 $PD\cap CD=D$，$PD$、$CD\subset$ 平面 $PCD$，所以 $AB\perp$ 平面 $PCD$. 因为 $PC\subset$ 平面 $PCD$，所以 $PC\perp AB$. (2)以 $C$ 为原点，$CA$、$CB$ 所在直线为 $x$、$y$ 轴，过 $C$ 垂直于底面的直线为 $z$ 轴建系，则 $C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0).$ 设 $P(x,y,z)$：由 $PC\perp AC$ 得 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{AC}=-2x=0$，即 $x=0$；由 $AP=BP$ 得 $x=y$，即 $y=0$；由 $AP=2\sqrt{2}$ 得 $4+z^2=8$，$z=2$（$P$ 在底面上方）. 所以 $P(0,0,2)$，且 $PC=2$. 平面 $APC$ 过 $A$、$P$、$C$，即坐标面 $y=0$，取法向量 $n_1=(0,1,0)$. 平面 $ABP$ 过 $A(2,0,0)$、$B(0,2,0)$、$P(0,0,2)$，方程为 $x+y+z=2$，取法向量 $n_2=(1,1,1)$. 在两个半平面内分别取点 $B$、$C$，其相对于棱 $AP$ 的垂直分量为 $v_B=(-2,2,0)-\left[(-2,2,0)\cdot \frac{(-1,0,1)}{\sqrt{2}}\right]\frac{(-1,0,1)}{\sqrt{2}}=(-2,2,0)-(-1,0,1)=(-1,2,-1),$ $v_C=(-2,0,0)-\left[(-2,0,0)\cdot \frac{(-1,0,1)}{\sqrt{2}}\right]\frac{(-1,0,1)}{\sqrt{2}}=(-2,0,0)-(-1,0,1)=(-1,0,-1).$ $\cos \theta =\frac{v_B\cdot v_C}{|v_B||v_C|}=\frac{1+0+1}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{3}>0,$ 二面角 $B-AP-C$ 为锐角，故其大小为 $\theta =\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等腰与等边配线面垂直、二面角

核心方法：$AB\perp$ 平面 $PCD\Rightarrow PC\perp AB$；$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：中点 $D$ 是枢纽：等边三角形与等腰三角形共用一条中线，两次垂直合成为线面垂直；建系时利用 $PC\perp AC$ 与 $AP=BP$ 联立解出 $P$ 的坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥中”双等腰共中线”是经典结构，2010 北京文第 17 题、2010 重庆文第 20 题同型。

结论推广：$AB\perp PD$ 且 $AB\perp CD$（$PD\cap CD=D$）$\Rightarrow AB\perp$ 平面 $PCD$；法向量夹角需验证锐钝。

方法推广：几何法证垂直优先找公共中线；建系求 $P$ 坐标时把所有长度条件联立；二面角用投影分量定符号最保险。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-18 解-五面体距离二面角
• 2010-北京卷文-17 解-面面垂直与线面垂直
• 2010-重庆卷文-20 解-线面垂直二面角
• 2010-大纲卷II文-08 单-三棱锥线面角