2012-新课标卷理-08 单-双曲线的实轴长

本题导读

本题考查等轴双曲线的实轴长，以及抛物线的准线。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)） 等轴双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，$C$ 与抛物线 $y^2=16x$ 的准线交于 $A,B$ 两点，$|AB|=4\sqrt{3}$，则 $C$ 的实轴长为 ()

A. $\sqrt{2}$ B. $2\sqrt{2}$ C. $4$ D. $8$

🔍【思路分析】

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1. 抛物线 $y^2=16x$ 的准线 $x=-4$。
2. 等轴双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$ 与 $x=-4$ 交于 $A,B$。
3. 由 $|AB|=4\sqrt{3}$ 求 $a$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$y^2=16x$ 的准线 $x=-4$，与双曲线交于 $x=-4$，代入 $\frac{16}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$， $y^2=16-a^2$，$|AB|=2|y|=2\sqrt{16-a^2}=4\sqrt{3}$， $\sqrt{16-a^2}=2\sqrt{3}\Rightarrow 16-a^2=12\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=2$。 实轴长 $2a=4$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等轴双曲线

核心方法：抛物线的准线

避坑指南：弦长的计算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于双曲线与抛物线

结论推广：可推广到两曲线交点的弦长

方法推广：等轴双曲线 $a=b$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I理-03 单-双曲线的实轴与虚轴性质
• 2007-天津卷理-04 单-抛物线准线方程
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率