2007-天津卷理-04 单-抛物线准线方程

本题导读

本题考查双曲线与抛物线几何性质的综合应用。通过抛物线的准线确定双曲线的准线位置，再结合双曲线的离心率公式建立关于基本量 $a,b,c$ 的方程组，从而确定双曲线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的离心率为 $\sqrt{3}$，且它的一条准线与抛物线 $y^2=4x$ 的准线重合，则此双曲线的方程为()

A. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{48}-\frac{y^2}{96}=1$

C. $\frac{x^2}{3}-\frac{2y^2}{3}=1$　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由抛物线 $y^2=4x$ 求出其准线方程；
2. 根据双曲线的一条准线与该准线重合，得到双曲线准线方程中 $\frac{a^2}{c}$ 的具体数值；
3. 利用离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$ 联立消元求出 $a^2$ 与 $b^2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 对于抛物线 $y^2=4x$，其准线方程为 $x=-1$。 因为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上，其准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$。 由题意知，双曲线的左准线与抛物线的准线重合，则： $-\frac{a^2}{c}=-1⟹a^2=c$ 又已知双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}⟹c=\sqrt{3}a$， 代入上式得： $a^2=\sqrt{3}a$ 因为 $a>0$，所以 $a=\sqrt{3}$，从而 $a^2=3$。 则 $c=\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3$，所以 $c^2=9$。 根据双曲线中 $b^2=c^2-a^2$ 的关系，得： $b^2=9-3=6$ 故双曲线的方程为 $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$。 故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的准线方程 $x=\pm \frac{a^2}{c}$、离心率 $e=\frac{c}{a}$ 以及抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程 $x=-\frac{p}{2}$。
2. 核心方法：公式联立法。通过几何重合条件转化为基本物理量 $a,c,p$ 的代数等式。
3. 避坑指南：易错点在抛物线准线公式上，误将 $y^2=4x$ 的准线记为 $x=-2$。需牢记一次项系数除以 4 才是焦距的一部分，此处 $p=2$，准线为 $x=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查圆锥曲线的定义特征（准线性质），属于将两种不同曲线的几何要素进行交叉组合的经典考题。
2. 结论推广：焦点在 $x$ 轴上的双曲线，其准线到原点的距离为 $\frac{a^2}{c}=\frac{a}{e}$。当离心率 $e$ 确定时，准线位置直接决定了曲线的宏观大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-11 单-抛物线性质
• 2019-全国卷I理-10 单-椭圆定义