2012-新课标卷理-13 填-向量的模与数量积

本题导读

本题考查向量的模与数量积，以及模长公式。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

已知向量 $a,b$ 夹角为 $45^{\circ }$，且 $|a|=1$，$|2a-b|=\sqrt{10}$，则 $|b|=$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $|2a-b{|}^2=10$ 展开。

2. 代入 $|a|=1$ 与 $a\cdot b=|b|\cos 45^{\circ }$。

3. 解 $|b|$。

✅【答案】

点击查看答案

$3\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$|2a-b{|}^2=4|a{|}^2-4a\cdot b+|b{|}^2=10$。

$4-4\cdot |b|\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+|b{|}^2=10\Rightarrow |b{|}^2-2\sqrt{2}|b|-6=0$。

解得 $|b|=3\sqrt{2}$（负根舍去）。

故答案为 $3\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的模

核心方法：向量的数量积

避坑指南：模长公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于平面向量

结论推广：可推广到向量夹角的求解

方法推广：$|a+b{|}^2=|a{|}^2+2a\cdot b+|b{|}^2$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-21 解-平面向量的数量积坐标运算

• 2005-上海卷理-03 填-平面向量的数量积坐标运算

• 2005-全国卷I理-15 填-平面向量的线性运算