2012-江苏卷-07 填-四棱锥体积

本题导读

本题考查长方体中的四棱锥体积，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=AD=3\mathrm{cm}$，$A{A}_1=2\mathrm{cm}$，则四棱锥 $A-B{B}_1{D}_{1}D$ 的体积为　　${\mathrm{cm}}^3$.

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🔍【思路分析】

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$BD=3\sqrt{2}$，$B{B}_1=2$，底面积 $6\sqrt{2}$；高 $h=\frac{3}{\sqrt{2}}$，$V=\frac{1}{3}\times 6\sqrt{2}\times \frac{3}{\sqrt{2}}=6$。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

四棱锥 $A-B{B}_1{D}_{1}D$ 的底面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 是矩形，且 $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=3\sqrt{2}$，$B{B}_1=A{A}_1=2$，所以底面积为 $S=BD\cdot B{B}_1=6\sqrt{2}$。

在正方形 $ABCD$ 中，三角形 $ABD$ 的面积为 $\frac{9}{2}$，故点 $A$ 到直线 $BD$ 的距离为 $\frac{2\times \frac{9}{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$。

底面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 所在平面包含直线 $BD$ 且垂直于底面 $ABCD$，所以点 $A$ 到平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的距离也是 $\frac{3}{\sqrt{2}}$。

因而四棱锥的体积为 $V=\frac{1}{3}\times 6\sqrt{2}\times \frac{3}{\sqrt{2}}=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥体积公式；长方体侧面与底面的垂直关系；点到直线的距离（面积法）

核心方法：先定底面积（矩形对角线 × 侧棱），再用面积法求底面上的高，$V=\frac{1}{3}Sh$

避坑指南：高不是 $AB$ 或 $AD$，而是 $A$ 到对角线 $BD$ 的距离 $\frac{AB\times AD}{BD}=\frac{9}{3\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$；把高错取为 $3$ 会得 $V=18$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：长方体内锥体体积题，与 2013 年江苏卷第 8 题、2012 年广东卷文第 18 题同族。

结论推广：长方体中，侧面 $B{B}_1{D}_{1}D\perp$ 底面，交线为 $BD$，故顶点 $A$ 到底面的距离即 $A$ 到 $BD$ 的距离；一般地 $V_{A\text{-}B{B}_1{D}_{1}D}=\frac{1}{3}BD\cdot A{A}_1\cdot d(A,BD)$。

方法推广：锥体体积题三步：选好底面算面积 → 找顶点到面的高（面面垂直+线面垂直）→ 套 $V=\frac{1}{3}Sh$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-08 填-柱体与锥体的体积计算
• 2012-广东卷文-18 解-四棱锥垂直与体积
• 2013-重庆卷文-19 解-四棱锥垂直体积