2013-重庆卷文-19 解-四棱锥垂直体积

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定。核心在于线面垂直判定定理、间接法求体积的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$PA=2\sqrt{3}$，$BC=CD=2$，$\angle ACB=\angle ACD=\frac{\pi }{3}$.

(1)求证：$BD\perp$ 平面 $PAC$；

(2)若侧棱 $PC$ 上的点 $F$ 满足 $PF=7FC$，求三棱锥 $P-BDF$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ $BC=CD$、$CA$ 平分 $\angle BCD$ → $BD\perp AC$；$PA\perp$ 底面 → $PA\perp BD$；两相交直线 $PA,AC$ 都垂直于 $BD$ → $BD\perp$ 平面 $PAC$。
2. $(2)$ $\angle BCD=\frac{2\pi }{3}$，$S_{△BCD}=\sqrt{3}$，$V_{P-BCD}=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=2$。
3. $PF=7FC$ → $F$ 的高为 $\frac{1}{8}PA$ → $V_{F-BCD}=\frac{1}{4}$。
4. $V_{P-BDF}=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)$\frac{7}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 $BC=CD$，所以 $△BCD$ 是等腰三角形。又 $\angle ACB=\angle ACD$，即 $CA$ 是顶角 $\angle BCD$ 的平分线，由等腰三角形”三线合一”得 $BD\perp AC.$ 因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，$BD\subset$ 底面 $ABCD$，所以 $PA\perp BD.$ 又 $PA\cap AC=A$，$PA,AC\subset$ 平面 $PAC$，由线面垂直的判定定理 $BD\perp \text{平面}PAC.$ （2） 在 $△BCD$ 中，$BC=CD=2$，$\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$，故 $S_{△BCD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\cdot \sin \angle BCD=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$ 由 $PA\perp$ 底面 $ABCD$， $V_{P-BCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{△BCD}\cdot PA=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=2.$ 由 $PF=7FC$ 知 $F$ 在侧棱 $PC$ 上，且 $FC=\frac{1}{8}PC$，故点 $F$ 到底面 $ABCD$ 的距离为 $\frac{1}{8}PA=\frac{2\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$ 于是 $V_{F-BCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{△BCD}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}.$ 所以 $V_{P-BDF}=V_{P-BCD}-V_{F-BCD}=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥中的线面垂直与三棱锥体积

核心方法：$(1)$ $BC=CD$ 且 $\angle ACB=\angle ACD$ → $△BCD$ 等腰、$CA$ 平分顶角 → $BD\perp AC$；又 $PA\perp$ 底面 → $PA\perp BD$；$PA\cap AC=A$ → $BD\perp$ 平面 $PAC$。\n$(2)$ $S_{△BCD}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD\cdot \sin \angle BCD=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \sin \frac{2\pi }{3}=\sqrt{3}$，$V_{P-BCD}=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=2$；\n$PF=7FC$ → $F$ 到底面的高为 $\frac{1}{8}PA$ → $V_{F-BCD}=\frac{1}{8}\times 2=\frac{1}{4}$ → $V_{P-BDF}=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$

避坑指南：求 $V_{P-BDF}$ 用间接法：$V_{P-BCD}-V_{F-BCD}$，比直接找 $BDF$ 面上的高省事得多；$PF=7FC$ 说明 $F$ 把侧棱分成 $8$ 份、$FC$ 占 $1$ 份，$F$ 的高度是 $P$ 的八分之一（别取成 $\frac{7}{8}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与平面垂直的判定与三棱锥体积的等体积转化。

结论推广：线面垂直判定定理；锥体体积公式；同底锥体的高之比等于侧棱分段比。

方法推广：等腰 + 角平分证 $BD\perp AC$ → 加 $PA\perp BD$ 证线面垂直 → 算大锥减小锥。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2013-安徽卷文-18 解-菱形四棱锥垂直
• 2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直