2012-江苏卷-20 解-数列递推与等比存在性

本题导读

本题考查数列递推关系。核心在于递推法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 已知各项均为正数的两个数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足：$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1) 设 $b_{n+1}=1+\frac{b_n}{a_n}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，求证：数列 $\left\{{\left(\frac{b_n}{a_n}\right)}^2\right\}$ 是等差数列；

(2) 设 $b_{n+1}=\sqrt{2}\cdot \frac{b_n}{a_n}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，且 $\{a_n\}$ 是等比数列，求 $a_1$ 和 $b_1$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1) $\left\{{\left(\frac{b_n}{a_n}\right)}^2\right\}$ 是公差为 $1$ 的等差数列；(2) $a_1=b_1=\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) $a_1=\sqrt{2}$，$b_1=\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $x_n=\frac{b_n}{a_n}>0$。由题设递推式，$a_{n+1}=\frac{1+x_n}{\sqrt{1+x_n^2}}$。

（1）当 $b_{n+1}=1+\frac{b_n}{a_n}=1+x_n$ 时，$x_{n+1}=\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}=\frac{1+x_n}{(1+x_n)/\sqrt{1+x_n^2}}=\sqrt{1+x_n^2}$。

所以 $x_{n+1}^2=x_n^2+1$，即数列 $\left\{{\left(\frac{b_n}{a_n}\right)}^2\right\}$ 是以 $1$ 为公差的等差数列。

（2）当 $b_{n+1}=\sqrt{2}\frac{b_n}{a_n}=\sqrt{2}{x}_n$ 时，先设 $\{a_n\}$ 的公比为 $q>0$。由上式及 $x_n>0$，有 $1<a_{n+1}=\frac{1+x_n}{\sqrt{1+x_n^2}}⩽\sqrt{2}$。

若 $q>1$，则等比数列 $\{a_n\}$ 无界，与上式矛盾；若 $0<q<1$，则 $a_n$ 趋于 $0$，也与 $a_n>1$ 矛盾。因此 $q=1$，数列 $\{a_n\}$ 为常数，记其值为 $a$。

此时 $b_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{a}{b}_n$，所以 $x_n=\frac{b_n}{a}$ 是以 $\frac{\sqrt{2}}{a}$ 为公比的正数列。又 $a=\frac{1+x_n}{\sqrt{1+x_n^2}}$ 对所有 $n$ 成立。若 $\frac{\sqrt{2}}{a}>1$，则 $x_n$ 趋于 $+\infty$；若 $\frac{\sqrt{2}}{a}<1$，则 $x_n$ 趋于 $0$。这两种情况下右端都趋于 $1$，故必须有 $a=1$，但对正数 $x_n$，始终有 $\frac{1+x_n}{\sqrt{1+x_n^2}}>1$，矛盾。因而 $\frac{\sqrt{2}}{a}=1$，即 $a=\sqrt{2}$。

此时 $a=\frac{1+x_n}{\sqrt{1+x_n^2}}=\sqrt{2}$，由 $(1+x_n{)}^2=2(1+x_n^2)$ 得 $(x_n-1{)}^2=0$，所以 $x_n=1$。

特别地，$a_1=\sqrt{2}$，$b_1=a_1{x}_1=\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：比值换元降维；有界等比数列必为常数列（公比为 1）；递推式恒成立对参数的夹逼

核心方法：全部用 $x_n=\frac{b_n}{a_n}$ 表达；$a_n$ 夹在 $1$ 与 $\sqrt{2}$ 之间逼出 $q=1$，再由 $a$ 为常数对 $x_n$ 的极限夹逼出 $a=\sqrt{2}$

避坑指南：$a_{n+1}\in \left(1,\sqrt{2}\right]$ 是隐藏的有界性，是逼出 $q=1$ 的全部依据；$\frac{\sqrt{2}}{a}\ne 1$ 的两种情形都推出右端趋于 $1$ 而左端常数 $a\ne 1$，矛盾要分开写清楚。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推数列与存在性压轴题，与 2012 年湖南卷文第 20 题、2012 年山东卷文第 20 题同族。

结论推广：$\frac{1+x}{\sqrt{1+x^2}}$ 的取值范围是 $(1,\sqrt{2}]$，在 $x=1$ 处取最大值 $\sqrt{2}$；“递推式对所有 $n$ 恒成立”常用来对变量取极限夹逼参数。

方法推广：递推数列压轴：先做比值/差值换元统一变量 → 找出有界性与单调性 → 存在性问题按”公比讨论 + 极限夹逼 + 恒成立矛盾”三段收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-20 解-数列递推与增长率
• 2012-山东卷文-20 解-等差数列与等比数列求和
• 2012-广东卷文-12 填-等比数列的性质