2012-湖南卷文-20 解-数列递推与增长率

本题导读

本题考查数列的应用。核心在于递推法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金 $2000$ 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 $50\%$，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同. 公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 $d$ 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第 $n$ 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 $a_n$ 万元.

(1)用 $d$ 表示 $a_1$，$a_2$，并写出 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的关系式；

(2)若公司希望经过 $m$（$m⩾3$）年使企业的剩余资金为 $4000$ 万元，试确定企业每年上缴资金 $d$ 的值（用 $m$ 表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

$a_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_n-d$；构造 $a_n-2d$ 成等比数列，由 $a_m=4000$ 解得 $d=\frac{1000(3^m-2^{m+1})}{3^m-2^m}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$a_1=3000-d$，$a_2=\frac{3}{2}{a}_1-d$，$a_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_n-d$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）；(2)$d=\frac{1000\left(3^m-2^{m+1}\right)}{3^m-2^m}$（万元）

✍【详细解析】

Abstract

（1）第一年年底资金为 $2000\times \left(1+50\%\right)=3000$（万元），上缴 $d$ 后得 $a_1=3000-d$；以后每年年底资金先增长 $50\%$ 再上缴 $d$，故 $a_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_n-d$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），特别地 $a_2=\frac{3}{2}{a}_1-d$。

（2）由 $a_{n+1}=\frac{3}{2}{a}_n-d$，两边减 $2d$：$a_{n+1}-2d=\frac{3}{2}{a}_n-3d=\frac{3}{2}\left(a_n-2d\right)$，故 $\{a_n-2d\}$ 是首项为 $a_1-2d=3000-3d$、公比为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列，

$a_m=2d+\left(3000-3d\right){\left(\frac{3}{2}\right)}^{m-1}$.

令 $a_m=4000$：$4000-2d=\left(3000-3d\right){\left(\frac{3}{2}\right)}^{m-1}$，解得

$d=\frac{3000{\left(\frac{3}{2}\right)}^{m-1}-4000}{3{\left(\frac{3}{2}\right)}^{m-1}-2}$.

分子分母同乘 $2^m$：分子为 $3000\times 3^{m-1}\times 2-4000\times 2^m=2000\left(3^m-2^{m+1}\right)$，分母为 $2\times 3^m-2^{m+1}=2\left(3^m-2^m\right)$，

所以 $d=\frac{1000\left(3^m-2^{m+1}\right)}{3^m-2^m}$（万元）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：增长率问题的递推建模；形如 $a_{n+1}=q{a}_n+d$ 的通项（不动点法）；等比数列通项

核心方法：按实际过程列递推；两边减不动点 $2d$ 化为等比数列；解出参数后通分化简

避坑指南：“到当年年底上缴后的剩余资金”是先乘 $1.5$ 再减 $d$，顺序颠倒会使递推式错成 $a_{n+1}=\frac{3}{2}(a_n-d)$；不动点是 $\frac{d}{1-q}=2d$，构造时减的是 $2d$ 而不是 $d$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列应用题，与 2014 年湖南卷理第 8 题、2013 年安徽卷文第 19 题同族。

结论推广：$a_{n+1}=q{a}_n+d$（$q\ne 1$）的通项：$a_n=\left(a_1-\frac{d}{1-q}\right)q^{n-1}+\frac{d}{1-q}$。

方法推广：增长率与上缴类问题抓两个动作的先后顺序列递推，再用不动点法（或逐项累减）求通项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-08 单-增长率问题
• 2013-安徽卷文-19 解-数列递推与裂项
• 2013-广东卷文-19 解-数列递推与裂项