2012-江西卷文-08 单-椭圆等比条件离心率

本题导读

本题考查椭圆的焦点与顶点，以及等比中项条件。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别是 $A$，$B$，左、右焦点分别是 $F_1$，$F_2$.若 $|A{F}_1|$，$|F_1{F}_2|$，$|F_{1}B|$ 成等比数列，则此椭圆的离心率为()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\sqrt{5}-2$

🔍【思路分析】

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$(2c{)}^2=(a-c)(a+c)=a^2-c^2$，即 $5c^2=a^2$，$e=\frac{\sqrt{5}}{5}$，故选 B

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆定义与对称性：$|A{F}_1|=a-c$，$|F_1{F}_2|=2c$，$|F_{1}B|=a+c$。

三者成等比数列，故 $(2c{)}^2=(a-c)(a+c)=a^2-c^2$。

即 $4c^2=a^2-c^2$，$5c^2=a^2$，所以 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{5}$，$e=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆基本量 $a$、$c$ 与顶点、焦点的距离；等比数列中项；离心率公式 $e=\frac{c}{a}$

核心方法：把三段距离用 $a$、$c$ 表出，由等比中项列方程，整体求出 $e$

避坑指南：$A$ 是左顶点、$B$ 是右顶点，$|A{F}_1|=a-c$、$|F_{1}B|=a+c$ 别写反；离心率 $e<1$，算出 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 后要有理化成 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 与选项对照。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆离心率（等比/等差条件）题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 4 题、2012 年四川卷文第 15 题同族。

结论推广：椭圆上点到焦点距离：左顶点到左焦点 $a-c$、右顶点到左焦点 $a+c$；凡 $a$、$c$ 的齐次条件都可整体化为 $e$ 的方程。

方法推广：离心率题不求 $a$、$c$ 具体值，把条件化为 $a$、$c$ 的齐次方程后直接解出 $e$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-04 单-椭圆离心率
• 2012-四川卷文-15 填-椭圆离心率
• 2012-浙江卷文-08 单-双曲线椭圆离心率