2012-浙江卷文-08 单-双曲线椭圆离心率

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及椭圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 如图，中心均为原点 $O$ 的双曲线与椭圆有公共焦点，$M$，$N$ 是双曲线的两顶点. 若 $M$，$O$，$N$ 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()

A. $3$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

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🔍【思路分析】

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双曲线顶点距中心 $a_1$，椭圆长轴被四等分后每段 $\frac{a_2}{2}=a_1$，故 $\frac{e_1}{e_2}=\frac{a_2}{a_1}=2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线的半实轴长为 $a_1$，椭圆的半长轴长为 $a_2$，二者半焦距同为 $c$。

$M$，$N$ 是双曲线的顶点，故 $OM=ON=a_1$；$M$，$O$，$N$ 将长轴 $2a_2$ 四等分，每段长 $\frac{2a_2}{4}=\frac{a_2}{2}$，而 $OM$ 恰为其中一段，故 $a_1=\frac{a_2}{2}$，即 $a_2=2a_1$。

两曲线离心率之比 $\frac{e_1}{e_2}=\frac{c/a_1}{c/a_2}=\frac{a_2}{a_1}=2$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与双曲线的对称性；离心率公式 $e=c/a$

核心方法：把”四等分”翻译成 $a_1$ 与 $a_2$ 的等量关系，同焦点时离心率之比等于长轴之比的反比

避坑指南：四等分的是整条长轴 $2a_2$，每段是 $\frac{a_2}{2}$ 而不是 $\frac{a_2}{4}$；两曲线共用 $c$，比较离心率时 $c$ 约去，别再引入无谓的方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线离心率比值题，与 2013 年北京卷文第 7 题、2014 年新课标Ⅰ文第 4 题同族。

结论推广：同焦点时 $\frac{e_1}{e_2}=\frac{a_2}{a_1}$（长轴长与离心率成反比）。

方法推广：圆锥曲线比值型问题：把几何条件逐句翻译成 $a$、$b$、$c$ 的关系，目标量往往只依赖其中一个比值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-07 单-双曲线离心率充要
• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率
• 2013-重庆卷文-10 单-双曲线离心率范围