2012-江西卷理-01 单-集合

本题导读

本题考查集合的内涵表示法，以及集合新运算。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 若集合 $A=\{-1,1\}$, $B=\{0,2\}$, 则集合 $\{z\mid z=x+y,x\in A,y\in B\}$ 中的元素个数为 ()

A. 5　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解新集合的定义：新集合中的元素 $z$ 是由集合 $A$ 中的元素 $x$ 与集合 $B$ 中的元素 $y$ 相加得到的。
2. 采用列举法，将 $x$ 的可能取值与 $y$ 的可能取值两两组合求和，列出所有可能的 $z$ 值。
3. 根据集合中元素的互异性，去掉重复出现的数值，确定最终集合中独立元素的个数。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设新集合为 $C=\{z\mid z=x+y,x\in A,y\in B\}$。 因为 $x\in A=\{-1,1\}$， $y\in B=\{0,2\}$， 所以 分类列举所有求和的可能性：

• 当 $x=-1$ 时：
• 若 $y=0$，则 $z=-1+0=-1$；
• 若 $y=2$，则 $z=-1+2=1$；
• 当 $x=1$ 时：
• 若 $y=0$，则 $z=1+0=1$；
• 若 $y=2$，则 $z=1+2=3$。

组合得到的全部结果为： $-1,1,1,3$。 根据集合中元素的互异性，重复的元素 $1$ 只能算作一个。 所以，集合 $C$ 的元素具体为： $\{-1,1,3\}$。 该集合中的元素个数为 3。

故选 C#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：集合的内涵表示法、集合中元素的性质（互异性）。
2. 核心方法：两两组合列举法。
3. 避坑指南：极易在计算过程中忽略集合元素的互异性，直接将组合总数 $2\times 2=4$ 作为答案而误选 (B)。务必在列举完后对重复的元素进行去重。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中关于集合概念与表示方法的课后巩固基础题。在高等数学（如泛函分析或近世代数）中，该运算被称为闵可夫斯基和（Minkowski Sum），记作 $A+B$。
2. 结论推广：若有限数集 $A$ 的元素个数为 $m$，有限数集 $B$ 的元素个数为 $n$，则其闵可夫斯基和集合 $A+B$ 的元素个数 $N$ 满足不等式关系： $\max (m,n)\le N\le m\times n$。当且仅当两集合内部各元素差值无任何重合时取得最大值 $m\times n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算 类题演练 (Links)

• 2006-上海卷理-01 填-集合元素的互异性

• 2006-山东卷理-01 单-集合元素的互异性

• 2023-新高考II卷-02 单-集合