2012-江西卷理-09 单-对数

本题导读

本题考查组合样本的平均数，以及待定系数对齐。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)）

样本 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 的平均数为 $\bar{x}$，样本 $(y_1,y_2,\cdots ,y_m)$ 的平均数为 $\bar{y}$ $(\bar{x}\ne \bar{y})$.若样本 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n,y_1,y_2,\cdots ,y_m)$ 的平均数 $\bar{z}=\alpha \bar{x}+(1-\alpha )\bar{y}$，其中 $0<\alpha <\frac{1}{2}$，则 $n,m$ 的大小关系为 ()

A. $n<m$　　　　B. $n>m$　　　　C. $n=m$　　　　D. 不能确定

🔍【思路分析】

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1. 写出组合样本平均数的标准定义式：

新组合样本共有 $n+m$ 个元素，其总和为两个子样本的总和之加，标准平均数定义式为：

$\bar{z}=\frac{\sum x_i+\sum y_j}{n+m}=\frac{n\bar{x}+m\bar{y}}{n+m}=\frac{n}{n+m}\bar{x}+\frac{m}{n+m}\bar{y}$

2. 结构对齐，锁定权数表达式：

将标准定义式与题目给定的条件式 $\bar{z}=\alpha \bar{x}+(1-\alpha )\bar{y}$ 进行对应项系数对齐。由于 $\bar{x}\ne \bar{y}$，对应系数具有唯一性，直接求得：

$\alpha =\frac{n}{n+m}$

3. 利用不等式边界进行卡位推导：

已知条件限制为 $0<\alpha <\frac{1}{2}$。将求得的分式代入不等式右端： $\frac{n}{n+m}<\frac{1}{2}$。由于 $n,m$ 为正整数，两边去分母展开即可直接判定 $n,m$ 的大小。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

根据统计学中平均数的定义：

第一个样本的总和为： ${\sum }_{i=1}^n{x}_i=n\bar{x}$

第二个样本的总和为： ${\sum }_{j=1}^m{y}_j=m\bar{y}$

将两个样本合并后，新样本的元素总个数为 $n+m$，新总和为 $n\bar{x}+m\bar{y}$。

根据定义，合并后的总平均数 $\bar{z}$ 满足：

$\bar{z}=\frac{n\bar{x}+m\bar{y}}{n+m}=\frac{n}{n+m}\bar{x}+\frac{m}{n+m}\bar{y}$

又因为 题目已知组合式为：

$\bar{z}=\alpha \bar{x}+(1-\alpha )\bar{y}$

由于 $\bar{x}\ne \bar{y}$，对比两式中 $\bar{x}$ 的系数，满足恒等对齐：

$\alpha =\frac{n}{n+m}$

因为 题目给出限制条件为 $0<\alpha <\frac{1}{2}$，

所以 代入可得：

$\frac{n}{n+m}<\frac{1}{2}$

由于 样本容量 $n,m\in {\mathbf{N}}_{+}$，故分母 $n+m>0$。

不等式两边同时乘以 $2(n+m)$ 以去分母：

$2n<n+m$

两边同时减去 $n$，移项化简得：

$n<m$

故选 A#### 💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：加权平均数模型中权重的代数表达、一元一次不等式的移项化简。

2. 核心方法：

• 结构对齐系数法：将实际定义公式与已知待定系数式进行基底对齐，是快速提取出参数 $\alpha$ 表达式的通用手段。

• 特殊值代入法（快捷技巧）：作为选择题，可令 $\alpha =\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$。此时 $\bar{z}=\frac{1}{3}\bar{x}+\frac{2}{3}\bar{y}=\frac{1\bar{x}+2\bar{y}}{1+2}$。直接对应得出样本容量比例为 $n:m=1:2$，显然 $n<m$，直接快速得出。

3. 避坑指南：

• 注意题干条件 $\bar{x}\ne \bar{y}$ 是系数得以唯一对齐的逻辑基石。若两平均数相等，则 $\bar{z}$ 恒等于该常数， $\alpha$ 将沦为任意元，无法确定大小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第三册第九章《统计》中关于样本数字特征（平均数）深化理解的经典选择题。

2. 结论推广：本题代数模型在物理学中对应于质心（杠杆原理）模型。总平均数 $\bar{z}$ 必然落在 $\bar{x}$ 与 $\bar{y}$ 之间，且向着样本容量更大（权重大）的一方靠拢（即“物重力矩短”）。已知 $\alpha <\frac{1}{2}⟹1-\alpha >\frac{1}{2}$，说明 $\bar{y}$ 分配到的物理权重超过了总分量的一半，总平均数 $\bar{z}$ 几何上更靠近 $\bar{y}$。依据物理直观，权重更大的一方对应的样本数必然更多，故直接得出 $m>n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-02 单-充分条件与必要条件的判定

• 2013-上海卷文-06 填-加权平均数

• 1993-旧高考理-10