2012-江西卷理-15 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标系与直角坐标系的互化，以及圆的极坐标方程。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2+y^2-2x=0$，以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 $C$ 的极坐标方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 回顾直角坐标与极坐标的转换公式： 在标准映射下，满足基本的代数对齐公式：

• $x=\rho \cos \theta$
• $y=\rho \sin \theta$
• $x^2+y^2={\rho }^2$

2. 公式代入化简： 将 $x^2+y^2={\rho }^2$ 和 $x=\rho \cos \theta$ 直接代入已知曲线 $C$ 的直角坐标方程 $x^2+y^2-2x=0$ 中。
3. 因式分解提公因式： 得到关于 $\rho$ 的方程，提取公因式 $\rho$，结合曲线实际几何意义（排除极点或将极点包含在内），写出最简极坐标方程。

✅【答案】

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$\rho =2\cos \theta$

✍【详细解析】

Abstract

因为 以直角坐标系的原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 所以 平面内任意一点的直角坐标 $(x,y)$ 与极坐标 $(\rho ,\theta )$ 满足下列转换公式： $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}⟹x^2+y^2={\rho }^2$

将上面的转换关系式直接代入曲线 $C$ 的直角坐标方程 $x^2+y^2-2x=0$ 中： ${\rho }^2-2(\rho \cos \theta )=0$

对左端进行因式分解，提取公因式 $\rho$： $\rho (\rho -2\cos \theta )=0$

由此可得： $\rho =0\text{或}\rho =2\cos \theta$

因为 当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时， 方程 $\rho =2\cos \frac{\pi }{2}=0$，这说明方程 $\rho =2\cos \theta$ 本身就已经包含了 $\rho =0$（即极点）这一特殊情况， 所以 曲线 $C$ 的极坐标方程可以化简缩减为： $\rho =2\cos \theta$

故答案为：$\rho =2\cos \theta$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角坐标系向极坐标系的基本公式代换、圆的极坐标标准型。
2. 核心方法：公式代换法。
3. 避坑指南：

• 最终化简时不要遗留 ${\rho }^2$ 形式。必须两边约去一个 $\rho$，并且要在逻辑上清楚 $\rho =2\cos \theta$ 能够完全兼容极点（ $\rho =0$ ），从而不需要写成分段形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修4-4《坐标系与参数方程》第一章极坐标系中关于圆的极坐标方程求法的最基础核心课后练习题。
2. 结论推广：本题几何模型为过原点的特殊圆。在极坐标系中，满足以下两个圆的标准极坐标模型：

• 圆心在极轴（ $x$ 轴正半轴）上且过极点，半径为 $R$ 的圆，方程为： $\rho =2R\cos \theta$。本题中圆的直角坐标配方为 $(x-1{)}^2+y^2=1$，圆心为 $(1,0)$，半径 $R=1$，直接代入模型可秒得 $\rho =2\cos \theta$。
• 圆心在 $\theta =\frac{\pi }{2}$（ $y$ 轴正半轴）上且过极点，半径为 $R$ 的圆，方程为： $\rho =2R\sin \theta$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换 类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标

• 2011-北京卷理-03 单-极坐标

• 1994-全国卷理-03