2012-浙江卷文-17 填-曲线到直线的距离

本题导读

本题考查新定义，以及圆心到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 定义：曲线 $C$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最小值称为曲线 $C$ 到直线 $l$ 的距离. 已知曲线 $C_1$：$y=x^2+a$ 到直线 $l$：$y=x$ 的距离等于曲线 $C_2$：$x^2+(y+4{)}^2=2$ 到直线 $l$：$y=x$ 的距离，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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圆 $(0,-4)$ 到 $y=x$ 距离减半径得 $\sqrt{2}$；则需 $\min \frac{|x^2-x+a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，解得 $a=\frac{9}{4}$。

✅【答案】

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$\frac{9}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

先求曲线 $C_2$（圆）到直线 $l$：$x-y=0$ 的距离：圆心 $(0,-4)$，半径 $r=\sqrt{2}$，圆心到 $l$ 的距离 $d=\frac{|0+4|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，故圆到直线的距离为 $2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$。

于是曲线 $C_1$：$y=x^2+a$ 上的点 $(x,x^2+a)$ 到 $l$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$，即

$\underset{x\in \mathbf{R}}{\min }\frac{|x^2+a-x|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，亦即 $\underset{x\in \mathbf{R}}{\min }|x^2-x+a|=2$。

由 $x^2-x+a={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+a-\frac{1}{4}$：

若 $a⩾\frac{1}{4}$，最小值为 $a-\frac{1}{4}$，令 $a-\frac{1}{4}=2$ 得 $a=\frac{9}{4}$；

若 $a<\frac{1}{4}$，抛物线与直线 $y=x$ 相交（$x^2-x+a=0$ 有实根），最小值为 $0\ne 2$，不合题意。

故 $a=\frac{9}{4}$。（验证：$\min \left|x^2-x+\frac{9}{4}\right|=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=2$，对应距离 $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，吻合。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线的距离公式；圆与直线的位置关系；含绝对值的二次函数最值

核心方法：先把”圆到直线的距离”算出，再把抛物线的距离最小值化为 $\min |x^2-x+a|$，按开口位置分类讨论

避坑指南：圆到直线的距离要”减半径”（在圆心距中扣除）；$x^2-x+a$ 的最小值可正可负，直接令 $a-\frac{1}{4}=2$ 之前必须先讨论 $a$ 与 $\frac{1}{4}$ 的大小，否则会多出舍不去的假根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义与最值综合题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 21 题（切线截距）、2014 年新课标Ⅱ理第 15 题同族。

结论推广：曲线到直线的距离 $=\min \frac{|F(x)|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；圆的情形为圆心距与半径之差（相交时为 $0$）。

方法推广：新定义题第一步是把定义翻译成标准算式；含绝对值的最值先看”绝对值内部能否变号”，再定讨论方案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距
• 2013-浙江卷理-15 填-抛物线定义与简单几何性质
• 2014-安徽卷文-03 单-抛物线准线