2010-北京卷文-11 填-点线距离与区域

本题导读

考查点线距离与区域判定。$|4m-8|=20$ 得 $m=7$ 或 $-3$；$2m+3<3$ 要求 $m<0$，故 $m=-3$。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 若点 $P(m,3)$ 到直线 $4x-3y+1=0$ 的距离为 $4$，且点 $P$ 在不等式 $2x+y<3$ 表示的平面区域内，则 $m=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. $\frac{|4m-9+1|}{\sqrt{16+9}}=4\Rightarrow |4m-8|=20$。
2. $m=7$ 或 $m=-3$。
3. 区域条件 $2m+3<3\Rightarrow m<0$，舍 $7$。
4. $m=-3$。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

由点到直线的距离公式， $\frac{|4m-3\times 3+1|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|4m-8|}{5}=4,$ 得 $|4m-8|=20$，解得 $m=7$ 或 $m=-3$。 又点 $P(m,3)$ 在不等式 $2x+y<3$ 表示的平面区域内， 即 $2m+3<3$，$m<0$。 故 $m=7$ 舍去，$m=-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线距离与区域取舍

核心方法：距离公式出两解，不等式区域定唯一

避坑指南：距离公式分母 $\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=5$；两解 $7$ 与 $-3$ 必须回代区域条件 $2m+3<3$ 检验，漏检验会填错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点 $(x_0,y_0)$ 到 $Ax+By+C=0$ 的距离 $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

结论推广：二元一次不等式表示半平面，判定点是否在区域内只需代入。

方法推广：含绝对值的方程天然两解，取舍依据必须写清。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
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