2012-浙江卷文-20 解-四棱柱线面垂直与线面角

本题导读

本题考查线面平行的性质定理。核心在于建系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AD\parallel BC$，$AD\perp AB$，$AB=\sqrt{2}$，$AD=2$，$BC=4$，$A{A}_1=2$，$E$ 是 $D{D}_1$ 的中点，$F$ 是平面 $B_1{C}_{1}E$ 与直线 $A{A}_1$ 的交点.

(1)证明：① $EF\parallel A_1{D}_1$；② $B{A}_1\perp$ 平面 $B_1{C}_{1}EF$；

(2)求 $B{C}_1$ 与平面 $B_1{C}_{1}EF$ 所成的角的正弦值.

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🔍【思路分析】

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（1）由 $A_1{D}_1\parallel B_1{C}_1$ 得 $A_1{D}_1\parallel$ 平面 $B_1{C}_{1}E$，交线 $EF\parallel A_1{D}_1$；建系可证 $\overrightarrow{B{A}_1}\parallel \mathbf{n}$，且 $F$ 为 $A{A}_1$ 中点；（2）$\sin \theta =\frac{\sqrt{30}}{15}$。

✅【答案】

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(1)证明见解析（$F$ 为 $A{A}_1$ 的中点）；(2)$\frac{\sqrt{30}}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）① 因为 $B_1{C}_1\parallel BC\parallel AD\parallel A_1{D}_1$，且 $A_1{D}_1\not\subset$ 平面 $B_1{C}_{1}E$，$B_1{C}_1\subset$ 平面 $B_1{C}_{1}E$，所以 $A_1{D}_1\parallel$ 平面 $B_1{C}_{1}E$。

又 $A_1{D}_1\subset$ 平面 $AD{D}_1{A}_1$，且平面 $AD{D}_1{A}_1\cap$ 平面 $B_1{C}_{1}E=EF$，由线面平行的性质定理得 $EF\parallel A_1{D}_1$。

② 以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $A(0,0,0)$，$B(\sqrt{2},0,0)$，$D(0,2,0)$，$C(\sqrt{2},4,0)$，$A_1(0,0,2)$，$B_1(\sqrt{2},0,2)$，$C_1(\sqrt{2},4,2)$，$D_1(0,2,2)$，$E(0,2,1)$。

平面 $B_1{C}_{1}E$ 的法向量 $\mathbf{n}=(x,y,z)$：由 $\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{B_1{C}_1}=4y=0$，$\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{B_{1}E}=(-\sqrt{2},2,-1)\cdot (x,y,z)=0$，取 $\mathbf{n}=(1,0,-\sqrt{2})$。

由 $\overrightarrow{B_{1}E}$ 与法向量知平面方程为 $x=\sqrt{2}(z-1)$；设 $F(0,0,t)$（$F$ 在直线 $A{A}_1$ 上），代入得 $t=1$，即 $F(0,0,1)$ 为 $A{A}_1$ 的中点。

$\overrightarrow{B{A}_1}=\overrightarrow{A_1}-\overrightarrow{B}=(-\sqrt{2},0,2)=-\sqrt{2}\mathbf{n}$，故 $B{A}_1\perp$ 平面 $B_1{C}_{1}EF$。

（2）$\overrightarrow{B{C}_1}=(0,4,2)$，$|\overrightarrow{B{C}_1}|=2\sqrt{5}$，$|\mathbf{n}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{B{C}_1}\cdot \mathbf{n}=2\times (-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$。

设 $B{C}_1$ 与平面 $B_1{C}_{1}EF$ 所成的角为 $\theta$，则

$\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{B{C}_1},\mathbf{n}⟩|=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{30}}{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的性质定理；线面垂直的判定（向量法）；直线与平面所成的角

核心方法：平行问题走”线线平行 → 线面平行 → 交线平行”链条；垂直与线面角用空间向量统一处理

避坑指南：$F$ 是直线与平面的交点，不是已知点，建系后必须先求出它的位置（本题恰为 $A{A}_1$ 中点）；线面角的正弦等于向量夹角余弦的绝对值，分子是数量积的绝对值，分母是两个模的乘积，约分后为 $\frac{\sqrt{30}}{15}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四棱柱中的证明与线面角综合题，与 2013 年浙江卷文第 20 题、2014 年天津卷文第 17 题同族。

结论推广：线面平行的性质定理：$m\parallel \alpha$，$m\subset \beta$，$\alpha \cap \beta =l\Rightarrow m\parallel l$；$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{AP}||\mathbf{n}|}$。

方法推广：立体几何解答题通用路线：能推的平行垂直先用定理推（第①问），计算型问题（交点、角、距离）交给坐标系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角
• 2013-天津卷文-17 解-三棱柱线面平行垂直
• 2014-天津卷文-17 解-四棱锥线面角