2011-广东卷文-18 解-半圆柱共面与垂直

本题导读

本题考查四点共面，以及空间向量的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 如图所示的几何体是将高为 $2$、底面半径为 $1$ 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. $A$，$A^{\prime }$，$B$，$B^{\prime }$ 分别为弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$，$\stackrel{⌢}{C^{\prime }{D}^{\prime }}$，$\stackrel{⌢}{\mathrm{DE}}$，$\stackrel{⌢}{D^{\prime }{E}^{\prime }}$ 的中点，$O_1$，$O_1^{\prime }$，$O_2$，$O_2^{\prime }$ 分别为 $CD$，$C^{\prime }{D}^{\prime }$，$DE$，$D^{\prime }{E}^{\prime }$ 的中点.

(1) 证明：$O_1^{\prime }$，$A^{\prime }$，$O_2$，$B$ 四点共面；

(2) 设 $G$ 为 $A{A}^{\prime }$ 中点，延长 $A^{\prime }{O}_1^{\prime }$ 到 $H^{\prime }$，使得 $O_1^{\prime }{H}^{\prime }=A^{\prime }{O}_1^{\prime }$. 证明：$B{O}_2^{\prime }\perp$ 平面 $H^{\prime }{B}^{\prime }G$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：建系写出各点坐标：(1) 验证四点满足同一平面方程 $x+z=1$
2. 步骤2：(2) $\overrightarrow{B{O}_2^{\prime }}$ 与平面内两不共线向量点积为零

✅【答案】

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(1) $O_1^{\prime }$，$A^{\prime }$，$O_2$，$B$ 四点共面（证明见解析）

(2) $B{O}_2^{\prime }\perp$ 平面 $H^{\prime }{B}^{\prime }G$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

建系：$C$，$D$，$E$ 在 $x$ 轴上，竖直向上为 $z$ 轴，左半圆柱在 $y⩾0$ 一侧，右半圆柱在 $y⩽0$ 一侧。

取 $C=(-2,0,0)$，$D=(0,0,0)$，$E=(2,0,0)$，$C^{\prime }=(-2,0,2)$，$D^{\prime }=(0,0,2)$，$E^{\prime }=(2,0,2)$；则 $O_1=(-1,0,0)$，$O_1^{\prime }=(-1,0,2)$，$O_2=(1,0,0)$，$O_2^{\prime }=(1,0,2)$。

弧的中点：$A=(-1,1,0)$，$A^{\prime }=(-1,1,2)$，$B=(1,-1,0)$，$B^{\prime }=(1,-1,2)$。

(1) 平面 $O_1^{\prime }{A}^{\prime }{O}_2$ 的方程为 $x+z=1$：$O_1^{\prime }(-1+2=1)$，$A^{\prime }(-1+2=1)$，$O_2(1+0=1)$ 均满足。

$B=(1,-1,0)$：$1+0=1$，也满足，故 $B$ 在同一平面内，四点共面。

(2) $G$ 为 $A{A}^{\prime }$ 中点：$G=(-1,1,1)$；$H^{\prime }$ 在 $A^{\prime }{O}_1^{\prime }$ 延长线上且 $O_1^{\prime }{H}^{\prime }=A^{\prime }{O}_1^{\prime }$，即 $O_1^{\prime }$ 为 $A^{\prime }{H}^{\prime }$ 中点，$H^{\prime }=2O_1^{\prime }-A^{\prime }=(-2+1,-1,4-2)=(-1,-1,2)$。

$\overrightarrow{B{O}_2^{\prime }}=O_2^{\prime }-B=(0,1,2)$；$\overrightarrow{H^{\prime }{B}^{\prime }}=B^{\prime }-H^{\prime }=(2,0,0)$；$\overrightarrow{H^{\prime }G}=G-H^{\prime }=(0,2,-1)$。

$\overrightarrow{B{O}_2^{\prime }}\cdot \overrightarrow{H^{\prime }{B}^{\prime }}=0$；$\overrightarrow{B{O}_2^{\prime }}\cdot \overrightarrow{H^{\prime }G}=0+2-2=0$。

$\overrightarrow{H^{\prime }{B}^{\prime }}$ 与 $\overrightarrow{H^{\prime }G}$ 不共线，它们确定平面 $H^{\prime }{B}^{\prime }G$，故 $B{O}_2^{\prime }\perp$ 平面 $H^{\prime }{B}^{\prime }G$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四点共面的判定（共平面方程 / 共面向量）；空间坐标系的建立；线面垂直的向量判定

核心方法：切半圆柱的对称性给建系带来便利；共面用”同平面方程”，垂直用”点积双零 + 基底不共线”

避坑指南：平移后右半圆柱的底面圆心横坐标与左侧关于切面对称（$O_1$，$O_2$ 横坐标为 $\pm 1$），坐标写错全盘皆错；$H^{\prime }=2O_1^{\prime }-A^{\prime }$ 来自”$O_1^{\prime }$ 是 $A^{\prime }{H}^{\prime }$ 中点”，方向别反；(2) 证垂直必须说明两向量不共线，才能充当平面的基底。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量与共面垂直题与 2012-浙江卷文-20、2013-新课标I卷文-19、2012-辽宁卷文-18 同族。

结论推广：推广：四点共面的坐标判定可统一为三向量混合积为零（本题 $x+z=1$ 即由此而来）；线面垂直的向量判定”与两条不共线向量点积均为零”是固定格式。

方法推广：空间证明题：图形由旋转体切片平移构成时优先建系，把”共面 / 垂直”全部翻译成坐标运算，几何推理负担最小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-20 解-四棱柱线面垂直与线面角
• 2013-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱体积
• 2012-辽宁卷文-18 解-直三棱柱平行与体积