2012-浙江卷理-07 单-等差数列前n项和

本题导读

本题考查等差数列前 n 项和的性质，以及命题真假的判断。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)） 设 $S_n$ 是公差为 $d$（$d\ne 0$）的无穷等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则下列命题错误的是()

A. 若 $d<0$，则数列 $\{S_n\}$ 有最大项 B. 若数列 $\{S_n\}$ 有最大项，则 $d<0$ C. 若数列 $\{S_n\}$ 是递增数列，则对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，均有 $S_n>0$ D. 若对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，均有 $S_n>0$，则数列 $\{S_n\}$ 是递增数列

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $S_n$ 的增减与 $d$ 的关系。
2. $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数。
3. 找错误命题。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$，是 $n$ 的二次函数。 A、B 正确（$d<0$ 时二次函数开口向下有最大项）。 C 错误：$S_n$ 递增只需 $d>0$，不要求 $S_n>0$，如 $a_1=-5,d=1$ 时 $S_1=-5<0$ 但递增。 D 正确。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列前 n 项和

核心方法：二次函数性质

避坑指南：命题真假

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等差数列性质

结论推广：可推广到等比数列前 n 项和

方法推广：$S_n$ 是 $n$ 的二次函数（$d\ne 0$）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-06 单-等差数列奇偶项和
• 2006-广东卷-19 解-无穷等比数列与数列极限
• 2007-北京卷理-15 解-等差数列前n项公式