2012-湖北卷文-22 解-切线与导数放缩

本题导读

本题考查导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 设函数 $f(x)=a{x}^n(1-x)+b$（$x>0$），$n$ 为正整数，$a$，$b$ 为常数. 曲线 $y=f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+y=1$.

(1)求 $a$，$b$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 的最大值；

(3)证明：$f(x)<\frac{1}{ne}$.

🔍【思路分析】

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由切线得 $a=1$，$b=0$；最大值 $f\left(\frac{n}{n+1}\right)=\frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}$；再证 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}>e$ 即得 $f(x)<\frac{1}{ne}$。

✅【答案】

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(1)$a=1$，$b=0$；(2)最大值为 $\frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}$；(3)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(1)=a\cdot 1^n\cdot (1-1)+b=b$，故切点为 $(1,b)$。

$f^{\prime }(x)=a\left[n{x}^{n-1}(1-x)-x^n\right]=a{x}^{n-1}\left[n-(n+1)x\right]$，故 $f^{\prime }(1)=a\left[0-1\right]=-a$，切线斜率为 $-a$。

切线方程为 $y-b=-a(x-1)$，即 $ax+y-a-b=0$。它与 $x+y-1=0$ 重合，比较系数得 $a=1$，$a+b=1$，故 $b=0$。

（2）由（1）知 $f(x)=x^n(1-x)$（$x>0$），$f^{\prime }(x)=x^{n-1}\left[n-(n+1)x\right]$。

当 $0<x<\frac{n}{n+1}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x>\frac{n}{n+1}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。

故 $f(x)$ 在 $x=\frac{n}{n+1}$ 处取得最大值

$f\left(\frac{n}{n+1}\right)={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n\left(1-\frac{n}{n+1}\right)={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}$。

（3）先证 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}>e$，即证 $(n+1)\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)>1$。

设 $g(x)=(x+1)\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$（$x>0$），则 $g(x)=(x+1)\left[\ln (x+1)-\ln x\right]$，

$g^{\prime }(x)=\ln (x+1)-\ln x+(x+1)\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right)=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}$。

设 $t=\frac{1}{x}>0$，则 $g^{\prime }(x)=\ln (1+t)-t<0$（对 $t>0$ 恒成立，因 $\ln (1+t)<t$），故 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，

从而 $g(n)>\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=1$，即 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}>e$。

于是 $(n+1{)}^{n+1}=n^{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}>n^{n+1}\cdot e=n\cdot n^n\cdot e$，

所以对 $x>0$ 恒有 $f(x)⩽\frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}<\frac{n^n}{n\cdot n^n\cdot e}=\frac{1}{ne}$，

即 $f(x)<\frac{1}{ne}$ 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义；含参多项式函数的最值；利用单调函数与极限证明不等式

核心方法：切线重合比较系数定 $a,b$；单调性定最大值点；把目标不等式等价变形为 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}>e$ 后构造辅助函数证明

避坑指南：第（3）问的关键一步是等价变形：$\frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}<\frac{1}{ne}$ 等价于 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}>e$，若直接对 $f(x)$ 求导与 $\frac{1}{ne}$ 比较会陷入困境；辅助函数 $g(x)$ 单调递减时，$g(n)$ 应与 $x\to +\infty$ 的极限 $1$ 比较（大于），方向别弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线定参与导数放缩综合题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 21 题、2013 年大纲卷文第 21 题同族。

结论推广：对 $t>0$ 有 $\ln (1+t)<t$；由此可证 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ 单调递减且大于 $e$，而 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ 单调递增且小于 $e$。

方法推广：导数压轴的常数为 $e$ 的不等式：先等价变形把 $e$ 集中到一侧，再构造”取极限作比较”的辅助函数，用单调性夹出结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距
• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线