2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于求导因式分解、端点必要条件+充分性验证的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+3a{x}^2+3x+1$.

(1)当 $a=-\sqrt{2}$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2)若 $x\in [2,+\infty )$ 时，$f(x)⩾0$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. $a=-\sqrt{2}$ 时 $f^{\prime }(x)=3\left(x-(\sqrt{2}-1)\right)\left(x-(\sqrt{2}+1)\right)$，增减区间由此读出。
2. $f(2)=15+12a⩾0\Rightarrow a⩾-\frac{5}{4}$。
3. 当 $a⩾-\frac{5}{4}$ 时 $f^{\prime }(x)⩾3\left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)=3(x-2)\left(x-\frac{1}{2}\right)⩾0$（$x⩾2$），$f(x)⩾f(2)⩾0$。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) $\left[-\frac{5}{4},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=-\sqrt{2}$ 时， $f^{\prime }(x)=3x^2-6\sqrt{2}x+3=3\left(x-(\sqrt{2}-1)\right)\left(x-(\sqrt{2}+1)\right).$ 由 $\sqrt{2}-1<\sqrt{2}+1$：

• 当 $x<\sqrt{2}-1$ 或 $x>\sqrt{2}+1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $\sqrt{2}-1<x<\sqrt{2}+1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 即 $f(x)$ 在 $(-\infty ,\sqrt{2}-1)$ 与 $(\sqrt{2}+1,+\infty )$ 上单调递增，在 $(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)$ 上单调递减。 (2) 因 $2\in [2,+\infty )$，由 $f(2)=8+12a+6+1=15+12a⩾0$ 得 $a⩾-\frac{5}{4}.$ 反之，当 $a⩾-\frac{5}{4}$ 且 $x⩾2$ 时， $f^{\prime }(x)=3(x^2+2ax+1)⩾3\left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)=3(x-2)\left(x-\frac{1}{2}\right)⩾0,$ 故 $f(x)$ 在 $[2,+\infty )$ 上单调不减，从而 $f(x)⩾f(2)=15+12a⩾0.$ 综上，$a$ 的取值范围是 $\left[-\frac{5}{4},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数研究单调性与恒成立

核心方法：$f^{\prime }(x)=3(x^2+2ax+1)$；先由 $f(2)⩾0$ 得必要条件 $a⩾-\frac{5}{4}$，再验证其充分性

避坑指南：恒成立求参先找必要条件（代特殊值 $x=2$）再回头验证充分性——直接讨论 $f^{\prime }$ 的符号分类会繁琐；验证时 $x^2+2ax+1⩾x^2-\frac{5}{2}x+1$ 这步放缩别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与单调性、不等式恒成立（全国卷压轴常客）。

结论推广：$f^{\prime }(x)>0⟺$ 单调递增；“对 $x\in [2,+\infty )$ 恒有 $f(x)⩾0$” $⟺f(x)$ 在 $[2,+\infty )$ 上的最小值 $⩾0$。

方法推广：恒成立两步法：代区间端点（或最小值点）得参数的必要范围 → 证明该范围内恒成立（单调性放缩）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-21 解-导数含参单调性
• 2014-大纲卷理-22 解-含参函数的单调性