2012-湖北卷理-07 单-数列综合

本题导读

本题考查新定义函数，以及等比数列的通项公式与判定定理。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 定义在 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 上的函数 $f(x)$，如果对于任意给定的等比数列 $\{a_n\}$， $\{f(a_n)\}$ 仍是等比数列，则称 $f(x)$ 为“保等比数列函数”.现有定义在 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 上的如下函数： ① $f(x)=x^2$； ② $f(x)=2^x$； ③ $f(x)=\sqrt{|x|}$； ④ $f(x)=\ln |x|$.

则其中是“保等比数列函数”的 $f(x)$ 的序号为()

A. ①②　　　　　　　B. ③④　　　　　　　C. ①③　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一设立输入等比数列：由于定义对“任意”等比数列都成立，我们设 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1(a_1\ne 0)$，公比为 $q(q\ne 0)$。其通项公式为 $a_n=a_1{q}^{n-1}$。
2. 逐项代入函数建立新数列通项：将 $a_n$ 代入各选项函数中，写出新数列 $b_n=f(a_n)$ 的代数表达式。
3. 根据等比判定条件筛选结果：检验比值 $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ 是否为一个与项数 $n$ 毫无关联的常数。若为常数，则是保等比数列函数；若包含 $n$ 或是非等比特征（如等差、指数级堆叠），则可直接举反例予以否定。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据题目给出的新定义，我们要判定 $f(x)$ 是否为“保等比数列函数”，必须检验对于任意等比数列 $a_n=a_1{q}^{n-1}(a_1\ne 0,q\ne 0,a_n\ne 0)$，新数列 $b_n=f(a_n)$ 是否满足 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\text{常数}$。

① 判定：是保等比数列函数 将等比数列通项 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 代入函数 $f(x)=x^2$ 中： $b_n=f(a_n)=(a_1{q}^{n-1}{)}^2=a_1^2\cdot (q^2{)}^{n-1}$ 分析新数列 $b_n$ 的结构：

• 其首项为 $b_1=a_1^2$（因为 $a_1\ne 0⟹a_1^2>0$）；

• 其公比为 $q^2$（因为 $q\ne 0⟹q^2>0$）。 显然， $b_n$ 是一个以 $a_1^2$ 为首项、以 $q^2$ 为公比的全新等比数列。 因此，①符合题意。

② 判定：不是保等比数列函数 将等比数列通项 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 代入函数 $f(x)=2^x$ 中： $b_n=f(a_n)=2^{a_1{q}^{n-1}}$ 我们尝试寻找一组具体的反例： 令等比数列为 $a_n=2^{n-1}$（即首项 $a_1=1$，公比 $q=2$）。

• 第 1 项为 $b_1=2^1=2$；

• 第 2 项为 $b_2=2^2=4$；

• 第 3 项为 $b_3=2^4=16$；

• 第 4 项为 $b_4=2^8=256$。 计算相邻项的比值： $\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{2}=2$，而 $\frac{b_3}{b_2}=\frac{16}{4}=4$。 因为比值 $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ 随着项数 $n$ 的增大而发生剧烈跳变（不再是固定的常数），所以新数列绝非等比数列。 因此，②不符合题意，直接排除 A、D 选项。

③ 判定：是保等比数列函数 将等比数列通项 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 代入函数 $f(x)=\sqrt{|x|}$ 中： $b_n=f(a_n)=\sqrt{|a_1{q}^{n-1}|}=\sqrt{|a_1|\cdot |q{|}^{n-1}}=\sqrt{|a_1|}\cdot (\sqrt{|q|}{)}^{n-1}$ 分析新数列 $b_n$ 的结构：

• 其首项为 $b_1=\sqrt{|a_1|}$（由于 $a_1\ne 0$，首项非零）；

• 其公比为 $\sqrt{|q|}$（由于 $q\ne 0$，公比非零）。 显然，该数列是一个完全合规的等比数列。 因此，③符合题意。综合上述结果，已可锁定正确答案为 C。

④ 判定：不是保等比数列函数 为了保持逻辑完备性，我们对 ④ 进行检验。 将等比数列通项 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 代入函数 $f(x)=\ln |x|$ 中： $b_n=f(a_n)=\ln |a_1{q}^{n-1}|=\ln |a_1|+\ln |q{|}^{n-1}=\ln |a_1|+(n-1)\ln |q|$ 观察新数列 $b_n$ 的代数构型：其自变量项数 $n$ 呈线性分布。 根据等差数列的定义，这显然是一个以 $\ln |a_1|-\ln |q|$ 为首项、以 $\ln |q|$ 为公差的等差数列（非等比数列）。 因此，④不符合题意。

综上所述，属于“保等比数列函数”的只有 ①和③。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项公式的幂次变形、基本初等函数对自变量级数的转化规律。
2. 核心方法：

• 指数与对数黑白双反法（快速得出大招）：在数列与函数交叉题中，牢记两大核心转换守恒定则：
  • “等差保指数”：若 $a_n$ 是等差数列，则 $A^{a_n}$ 必然退化变成等比数列；
  • “等比保对数”：若 $a_n$ 是等比数列，则 ${\log }_A|a_n|$ 必然退化变成等差数列（如本题中的④）。
• 掌握这两条守恒定则，写出复杂的通项，在看到④的 $\ln |x|$ 时即可顺理成章地判定其出来的一定是等差数列，从而在一秒内将其枪毙。

3. 避坑指南：

• 对“任意”一词缺乏逻辑警惕性：部分考生在检验 ② 选项时，由于主观臆断，代入了一组错误的特殊数列（如常数数列 $a_n=0$，但定义域已剔除 0），误认为其能维持等比。切记判定一个全称命题为假，只需要抓住一个反例即可一票否决。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中关于等比数列基本通项性质的课后创新思维训练题。属于高考考查新定义合情推理能力的中档经典题。
2. 结论推广:

• 幂函数广义保等比数列特征定理：在实数域内，若要使一个连续函数 $f(x)$ 满足完美的“保等比数列”几何变换特征。
• 经由类柯西函数方程 $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$ 的齐次化转换证明，该函数在宏观分布上有且仅能表现为标准的“幂函数”或其变体构型。
• 其严格的函数解析式通式恒严格满足： $f(x)=A\cdot |x{|}^{\alpha }(A\ne 0,\alpha \in \mathbb{R})$
• 本题中的 ① （ $\alpha =2$ ）和 ③ （ $\alpha =\frac{1}{2}$ ）恰好就是这一通用模型在特定幂次下的具象化表现。熟记这一幂函数自反守恒模型，在考场上遇到任何新定义的“保等比函数”设问时，均能直接越过繁琐推导，精准实现降维盲选。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结 类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比

• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项

• 2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项