2012-湖北卷理-09 单-三角恒等

本题导读

本题考查函数零点的概念，以及三角方程的解法。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 函数 $f(x)=x\cos x^2$ 在区间 $[0,4]$ 上的零点个数为()

A. 4　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 7

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化零点为方程的根：令 $f(x)=0⟹x\cos x^2=0$。根据两式相乘为零的代数因式性质，可将其解耦拆分为两个独立的方程： $x=0$ 或 $\cos x^2=0$。
2. 通项表达余弦零点：已知方程 $\cos \theta =0$ 的通项解为 $\theta =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$。代入本题结构，即有 $x^2=k\pi +\frac{\pi }{2}$。由于 $x\in [0,4]⟹x^2\in [0,16]$，由此可以建立关于整数 $k$ 的核心不等式。
3. 不等式夹逼卡位整数解：通过解不等式 $0\le k\pi +\frac{\pi }{2}\le 16$，结合常数 $\pi \approx 3.14$ 进行估算，卡出符合条件的所有非负整数 $k$ 的取值。将两部分根的数量累加即为答案。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据函数零点的定义，函数 $f(x)=x\cos x^2$ 在定义域内的零点，等价于对应方程 $f(x)=0$ 的所有实数根。 我们建立代数方程： $x\cos x^2=0$

根据乘法消元性质，该方程成立当且仅当满足以下两种情况之一： $\text{情况一：}x=0$ $\text{情况二：}\cos x^2=0$

第一步：分析情况一的零点 由于题目限制自变量的考察区间为 $x\in [0,4]$， 显而易见， $x=0$ 严格属于该闭区间。 因此，$x=0$ 是该函数的第 1 个零点。

第二步：分析情况二的零点（利用通项法） 根据基本三角方程的求解规律，余弦函数值为 0 的所有特殊角集合可统一用通项公式表达为： $\cos \theta =0⟹\theta =k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ 将本题中的复合因式 $\theta =x^2$ 代入通项中： $x^2=k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\text{(1)}$

由于自变量 $x$ 受到区间 $[0,4]$ 的刚性约束，我们可以对其进行平方操作，推导出复合变量 $x^2$ 的合法取值域范围： $0\le x\le 4⟹0\le x^2\le 4^2⟹0\le x^2\le 16\text{(2)}$

将①式的通项表达式整体代入②式的不等式夹逼区间内，从而建立起关于整数 $k$ 的一元一次不等式组： $0\le k\pi +\frac{\pi }{2}\le 16\text{(3)}$

第三步：解不等式围剿整数 $k$ 的个数 我们对不等式组③进行同解变形以孤立未知数 $k$：

1. 各项同时减去 $\frac{\pi }{2}$： $-\frac{\pi }{2}\le k\pi \le 16-\frac{\pi }{2}$
2. 各项同时除以正实数 $\pi$： $-\frac{1}{2}\le k\le \frac{16}{\pi }-\frac{1}{2}\text{(4)}$

为了确定符合题意的整数 $k$ 的具体个数，我们需要对右侧的无理数边界进行高精度定量估算。 已知圆周率 $\pi \approx 3.1416$，代入计算： $\frac{16}{\pi }\approx \frac{16}{3.1416}\approx 5.093$ 将此近似值代回不等式④的右端开边界中： $\frac{16}{\pi }-\frac{1}{2}\approx 5.093-0.5=4.593$ 也就是说，整数 $k$ 的严格取值范围被限定在： $-0.5\le k\le 4.593$

因为 $k$ 必须是整数（ $k\in \mathbb{Z}$ ），我们在上述闭区间内筛选出所有的合规整数解： $k=0,1,2,3,4$ 数出其个数，符合条件的 $k$ 共有 5 个。

第四步：综合累加零点总数

• 当 $k=0,1,2,3,4$ 时，由于 $k\pi +\frac{\pi }{2}>0$，开平方后在区间 $(0,4]$ 内均对应产生一个唯一的正实数根 $x=\sqrt{k\pi +\frac{\pi }{2}}$。这部分贡献了 5 个不同的零点。
• 再加上最开始在左端点独立分出来的零点 $x=0$（共 1 个）。

两部分零点互不重合，其代数相加的总个数为： $\text{总个数}=1+5=6\text{ 个}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由函数零点向三角方程通项形式的代数归化、利用无理数估算确定不等式整数解集。
2. 核心方法：区间自变量平方映射法。处理类似 $f(x)=\cos (x^2)$ 或 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi )$ 在固定区间内求零点个数的小题，最稳健的方法是直接对 $x$ 的区间进行复合函数整体换元映射。本题中通过将 $x\in [0,4]$ 直接映射为 $x^2\in [0,16]$，将无理根式的开方比较转化为纯整数与分式 $\frac{16}{\pi }$ 的大小比较，能有效避免直接估算 $\sqrt{\frac{\pi }{2}},\sqrt{\frac{3\pi }{2}}$ 等多重根式时的思维混乱。
3. 避坑指南：

• 漏掉因式分解出的原点零点：很多考生在解方程 $x\cos x^2=0$ 时，所有的注意力全被复杂的 $\cos x^2=0$ 吸引过去，好不容易算完后半部分得到 5 个解后，大脑一松直接漏掉了最前面的因式 $x=0$，导致误选 B（5个）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册《计数原理与不等式选讲》及选择性必修第一册第五章《三角函数》中关于三角方程特殊根分布的章末拔高选择题。属于高考考查零点分布基本功的经典中档小题。
2. 结论推广:

• 高阶幂次复合余弦函数零点计数通用快速模型：对于任意形如 $f(x)=x\cdot \cos (x^m)(m\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 的复合函数，求其在正向闭区间 $[0,L]$ 内的封闭零点总个数 $N$。
• 经由上述通项公式代数移项与高斯取整函数 $\lfloor x\rfloor$ 的符号化推导后，该模型的零点计数方程恒满足如下严格收敛的通用推广快捷通式： $N=1+\lfloor \frac{L^m}{\pi }-\frac{1}{2}\rfloor +1=\lfloor \frac{L^m}{\pi }+\frac{1}{2}\rfloor +1(\text{当 }\frac{L^m}{\pi }-\frac{1}{2}\ge 0\text{ 且非整数时})$
• 我们用本题的代数参数直接代入该推广快速模型中：上边界 $L=4$，幂次 $m=2$。执行一步直接得出心算： $N=\lfloor \frac{4^2}{\pi }+\frac{1}{2}\rfloor +1=\lfloor \frac{16}{3.1416}+0.5\rfloor +1=\lfloor 5.093+0.5\rfloor +1=\lfloor 5.593\rfloor +1=5+1=6$
• 结果直接一步到位。熟记这一“高斯取整三角零点模型”，无论未来的题目将区间上限 4 改为任意大数，或是将平方改为三次方，均能通过取整函数实现、直接口算得出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点 类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-06 单-零点存在性定理

• 2014-江苏卷-05 填-函数图象的交点

• 2014-湖南卷文-21 解-导数零点