本题导读
本题考查双曲线的几何性质，以及直线与圆相切的几何性质。
📌【题干】
Question
（2012年湖北卷(理)） 如图，双曲线 的两顶点为 ，虚轴两端点为 ，两焦点为 .若以 为直径的圆内切于菱形 ，切点分别为 ，则
(1)双曲线的离心率 ;
(2)菱形 的面积 与矩形 的面积 的比值 .
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🔍【思路分析】
破题导航
- 建立相切特征代数方程（第Ⅰ问）：
- 考查第一象限内的直角三角形 。其两条直角边分别为 ，，斜边为 。
- 以 为直径的圆，其半径为 。该圆内切于菱形，意味着原点 到斜边 的距离严格等于半径 。
- 利用直角三角形的面积法（两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高）建立 的代数方程，利用 转化为关于 的齐次方程求解。
- 计算面积比值（第Ⅱ问）：
- 菱形 的面积可通过两条对角线长直接表达： 。
- 矩形 是圆内接矩形。利用切点处的射影定理或三角函数关系，求出切点 的坐标，进而算出矩形的长与宽，表达出 。最后将 转化为仅含离心率 的代数式代入求解。
✅【答案】
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(1)
(2)
✍【详细解析】
Abstract
（Ⅰ）求解双曲线的离心率
以 为直径的圆，其圆心为坐标原点 ，半径为 。 我们考虑第一象限内的直角三角形 ：
- 焦点坐标为 ，故直角边 ；
- 虚轴端点坐标为 ，故直角边 ；
- 根据勾股定理，斜边长为 。
因为该圆内切于菱形，所以原点 到斜边 的垂线段长度（即斜边上的高）严格等于圆的半径 。 利用等面积法（直角三角形面积的两套计算通式： ），可得：
将①式两边同时执行平方操作，以消除根号：
利用双曲线中三个基本几何量的固有平方差守恒关系 ，将②式中的 全部彻底替换为仅含 和 的多项式： 展开并化简多项式： 将所有项移到等式左端，构建齐次方程：
两边同时除以 ，并将离心率定义式 代入方程③中：
利用一元二次方程求根公式求解 ：
由于双曲线的离心率恒满足 。 而 （舍去）， 故取正根： 两端同时开平方根，解得双曲线的离心率：
填空题第（Ⅰ）空答案为：
（Ⅱ）求解面积比值
首先计算菱形 的代数总面积 。其横向对角线长为 ，纵向对角线长为 ：
接下来计算切点矩形 的面积 。 由图及对称性可知，矩形 的四个顶点（切点）完全对称地分布在四个象限。 在直角 中，设垂足（切点）为 。根据直角三角形的射影定理及三角函数射影性质，切点 的坐标 满足：
- 长度等于 在 轴上的投影：
- 长度等于 在 轴上的投影：
因此，矩形 的横向长为 ，纵向宽为 。 其面积 表达式为：
我们将⑤式和⑥式同时代入目标比值中，进行分式化简：
将 代入⑦式中，转化为纯粹关于离心率 的齐次式：
由于在第（Ⅰ）问中我们已经通过方程④得知 ， 或者直接将已求得的 代入⑧式中：
填空题第（Ⅱ）空答案为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：圆的几何切线方程在直角坐标系下的几何表达、解析几何中面积公式的齐次化换元消元。
- 核心方法：等面积高维降元法。处理解析几何中由内切、外接引出的几何量混合方程时，利用直角三角形的等面积通式建立等数关系，是避开解析几何联立求导的最快大招。
- 避坑指南：
- 混淆双曲线与椭圆的平方和关系：在替换 时，务必看清题目是双曲线，满足 。部分考生容易思维定势错套用椭圆的 ，导致第一步列出的齐次方程系数出错。
- 切点矩形长宽算错：矩形 的顶点在圆上，但各边的方向并不平行于坐标轴。这里通过射影直接求出四个顶点的坐标，进而直接用 计算，需要明确在这一特定对称结构下，其各边恰好由于对称性而平行于轴。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中关于双曲线离心率与圆综合交叉的章末压轴能力填空题。
- 结论推广:
- 圆锥曲线内切菱形对偶面积快速模型：在平面直角坐标系中，对于任意标准双曲线 ，若其顶点内切于焦点与虚轴端点构筑的包络菱形中。
- 则该圆锥曲线的离心率 恒被锁死为黄金分割比：
- 且其菱形总面积 与切点内接多边形面积 的代数比值，恒表现为关于离心率的单单调对偶函数：
- 掌握这一“黄金分割圆锥曲线模型”，在未来的考场上遇到任何同类图形结构（如椭圆对应外切）时，均能做到，直接得出。
🔗【关联脉络】
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