2012-湖北卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查平面向量数量积的坐标运算。核心在于向量法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 已知向量 $\mathbf{a}=(\cos \omega x-\sin \omega x,\sin \omega x)$， $\mathbf{b}=(-\cos \omega x-\sin \omega x,2\sqrt{3}\cos \omega x)$，设函数 $f(x)=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\lambda (x\in \mathbb{R})$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称，其中 $\omega ,\lambda$ 为常数，且 $\omega \in \left(\frac{1}{2},1\right)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 若 $y=f(x)$ 的图象经过点 $\left(\frac{\pi }{4},0\right)$，求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{3\pi }{5}\right]$ 上的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析式化简：应用向量数量积公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 展开，再通过二倍角公式与辅助角公式化简为 $f(x)=A\sin (2\omega x+\varphi )+\lambda$ 的形式。
2. 确定参数 $\omega$：根据对称轴 $x=\pi$ 建立关于 $\omega$ 的方程，结合 $\omega \in \left(\frac{1}{2},1\right)$ 确定 $\omega$ 的值，进而求出周期。
3. 求解闭区间值域：代入已知点坐标求出 $\lambda$，确定完整解析式。利用不等式性质由自变量 $x$ 的范围推导复合相位的范围，结合正弦函数单调性求出值域。

✅【答案】

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(1) $\frac{6\pi }{5}$

(2) 取值范围为 $\left[-1-\sqrt{2},2-\sqrt{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 求函数 $f(x)$ 的最小正周期

利用平面向量数量积的坐标运算公式展开 $f(x)$： $f(x)=(\cos \omega x-\sin \omega x)(-\cos \omega x-\sin \omega x)+\sin \omega x\cdot (2\sqrt{3}\cos \omega x)+\lambda$

应用平方差公式与乘法分配律化简前两项： $f(x)={\sin }^2\omega x-{\cos }^2\omega x+2\sqrt{3}\sin \omega x\cos \omega x+\lambda$

套用二倍角公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 和 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 进行降幂与倍角变换： $f(x)=-\cos 2\omega x+\sqrt{3}\sin 2\omega x+\lambda$ $f(x)=\sqrt{3}\sin 2\omega x-\cos 2\omega x+\lambda$

应用辅助角公式提取振幅 $A=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=2$： $f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\omega x-\frac{1}{2}\cos 2\omega x\right)+\lambda$ $f(x)=2\sin \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right)+\lambda \text{(1)}$

因为函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称，所以当 $x=\pi$ 时，函数取得最大值或最小值，即： $2\omega \pi -\frac{\pi }{6}=k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

两边同时除以 $\pi$ 并移项变形： $2\omega =k+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}⟹2\omega =k+\frac{2}{3}$ $\omega =\frac{k}{2}+\frac{1}{3},k\in \mathbb{Z}\text{(2)}$

已知 $\omega \in \left(\frac{1}{2},1\right)$，代入②式建立不等式组： $\frac{1}{2}<\frac{k}{2}+\frac{1}{3}<1$ $\frac{1}{6}<\frac{k}{2}<\frac{2}{3}⟹\frac{1}{3}<k<\frac{4}{3}$

由于 $k\in \mathbb{Z}$，故 $k=1$。 将 $k=1$ 代回②式，解得： $\omega =\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$

因此，函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T$ 为： $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{2\pi }{2\times \frac{5}{6}}=\frac{6\pi }{5}$

（2） 求函数 $f(x)$ 在给定区间上的取值范围

将 $\omega =\frac{5}{6}$ 代入①式，得： $f(x)=2\sin \left(\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)+\lambda$

因为 $y=f(x)$ 的图象经过点 $\left(\frac{\pi }{4},0\right)$，代入坐标得： $2\sin \left(\frac{5}{3}\times \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}\right)+\lambda =0$ $2\sin \left(\frac{5\pi }{12}-\frac{2\pi }{12}\right)+\lambda =0⟹2\sin \frac{\pi }{4}+\lambda =0$ $2\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\lambda =0⟹\lambda =-\sqrt{2}$

故函数的完整解析式为： $f(x)=2\sin \left(\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{2}\text{(3)}$

当 $x\in \left[0,\frac{3\pi }{5}\right]$ 时，满足不等式： $0\le x\le \frac{3\pi }{5}$

对自变量范围进行线性变换，构建复合相位 $\left(\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)$ 的取值范围： $0\le \frac{5}{3}x\le \pi$ $-\frac{\pi }{6}\le \frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\le \pi -\frac{\pi }{6}$ $-\frac{\pi }{6}\le \frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\le \frac{5\pi }{6}\text{(4)}$

根据正弦函数在区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上的图象特征：

• 当 $\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ 时，正弦值取得最大值 $1$；
• 当 $\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$ 时，正弦值取得最小值 $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$。

因此，正弦项的取值范围为： $-\frac{1}{2}\le \sin \left(\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1$

对不等式整体进行线性放缩以还原函数③： $-1\le 2\sin \left(\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)\le 2$ $-1-\sqrt{2}\le 2\sin \left(\frac{5}{3}x-\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{2}\le 2-\sqrt{2}$

即 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{3\pi }{5}\right]$ 上的取值范围为 $\left[-1-\sqrt{2},2-\sqrt{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换（降幂、二倍角、辅助角公式）、正弦型函数的对称轴性质与闭区间最值求解。
2. 核心方法：整体换元分析法。处理三角函数区间值域时，必须将复合角 $\omega x+\varphi$ 视为一个整体参数 $\theta$，计算出 $\theta$ 的边界范围后，结合正弦曲线的标准图象判断是否跨越了波峰或波谷，从而准确输出最值。
3. 避坑指南：

• 辅助角公式提取时的符号变号笔误：在将 $-\cos 2\omega x+\sqrt{3}\sin 2\omega x$ 调整为 $\sqrt{3}\sin 2\omega x-\cos 2\omega x$ 时，需注意正负号对应关系。
• 值域端点盲目代入导致漏算最值：求闭区间取值范围时，不能仅代入端点值 $x=0$ 和 $x=\frac{3\pi }{5}$。由于复合相位区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ 内部包含了正弦曲线的最高点 $\frac{\pi }{2}$，其最大值必须在顶点处取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第五章《三角函数》中关于三角恒等变换与函数图象性质综合应用的典型解答题。
2. 结论推广：

• 向量积复合三角函数标准模型：形如 $f(x)=(\cos \omega x-\sin \omega x)(-\cos \omega x-\sin \omega x)+2\sqrt{3}\sin \omega x\cos \omega x+\lambda$ 的函数结构，经向量展开与降幂倍角变换后，其振幅 $A$ 恒收敛为常数 $2$。
• 此类模型在高考中具有固定的通用解题范式，即“向量展开 $\to$ 三角化简 $\to$ 轴/点卡位确定参数 $\to$ 整体换元求值域”。掌握这一规范化流程，可推广至任意一阶线性组合三角多项式的求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

• 10.01 两角和与差及辅助角公式 类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-06

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数

• 2013-天津卷理-15 解-两角和差正弦