2012-湖南卷理-02 单-四种命题转换

本题导读

本题考查四种命题的定义与转换，以及逆否命题的构造。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 命题“若 $\alpha =\frac{\pi }{4}$，则 $\tan \alpha =1$”的逆否命题是()

A. 若 $\alpha \ne \frac{\pi }{4}$，则 $\tan \alpha \ne 1$　　　　　　　　　　　　　　　　B. 若 $\alpha =\frac{\pi }{4}$，则 $\tan \alpha \ne 1$

C. 若 $\tan \alpha \ne 1$，则 $\alpha \ne \frac{\pi }{4}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. 若 $\tan \alpha \ne 1$，则 $\alpha =\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别原命题结构：原命题具有“若 $p$，则 $q$”的形式。其中条件 $p$ 为“ $\alpha =\frac{\pi }{4}$”，结论 $q$ 为“ $\tan \alpha =1$”。
2. 构造逆否命题：根据逆否命题的定义，原命题“若 $p$，则 $q$”的逆否命题为“若 $\neg q$，则 $\neg p$”。将结论和条件分别否定并对换位置即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设原命题的条件 $p$ 行为：“ $\alpha =\frac{\pi }{4}$ ”； 原命题的结论 $q$ 行为：“ $\tan \alpha =1$ ”。

分别对条件与结论进行逻辑否定：

• 条件的否定 $\neg p$ 行为：“ $\alpha \ne \frac{\pi }{4}$ ”；
• 结论的否定 $\neg q$ 行为：“ $\tan \alpha \ne 1$ ”。

根据逆否命题的构造规则，将原命题的条件与结论同时否定并对换位置，得到“若 $\neg q$，则 $\neg p$”，即： “若 $\tan \alpha \ne 1$，则 $\alpha \ne \frac{\pi }{4}$”

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）之间的对偶转换。
2. 核心方法：结构互换法。

• 逆命题：对换条件与结论位置（若 $q$，则 $p$）。
• 否命题：同时否定条件与结论（若 $\neg p$，则 $\neg q$）。
• 逆否命题：同时否定条件与结论并对换位置（若 $\neg q$，则 $\neg p$）。

3. 避坑指南：

• 混淆否命题与逆否命题：A 选项为原命题的否命题（仅否定，未换位置），D 选项为原命题的逆命题的否定。做题时牢记逆否命题需要完成“两步走”（一变位置，二变否定）即可避免混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中关于四种命题性质的常规概念型选择题。
2. 结论推广：

• 等价命题守恒模型：在经典命题逻辑中，原命题与逆否命题具有完全相同的真假性（即真值等价）。因此，当某些原命题的直接证明较为困难时（例如含有“至多”、“至少”或“不等于”等词项的命题），将其转化为证明其逆否命题（即采用反证法或逆否命题法），是高等数学中极为常用且核心的逻辑简化工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语 类题演练 (Links)

• 2011-山东卷文-05 单-否命题判定

• 2008-山东卷文-04 单-四种命题真假个数

• 2009-重庆卷文-02 单-逆命题