2012-湖南卷理-13 填-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)）

${\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^6$ 的二项展开式中的常数项为 $\underline{}$. （用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 因为需要求解展开式中的指定项，所以根据二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 列出代数通项式。

2. 因为通项式中含有根式，所以利用幂的运算法则 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$ 将其转化为分指数幂形式，并将常数系数与字母变量 $x$ 进行彻底分离。

3. 因为常数项对应的自变量总指数为 0，所以令化简后 $x$ 的指数项等于零，求出 $r$ 的刚性精确值，最后反代回系数项完成数值计算。

✅【答案】

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$-160$

✍【详细解析】

Abstract

因为已知二项式为 ${\left(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^6$，其中总项数幂次 $n=6$，

所以根据二项式定理的通项公式满足：

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot (2\sqrt{x}{)}^{6-r}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r(0\le r\le 6,r\in \mathbb{N})$

因为根据指数幂的运算法则，满足 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ 且 $-\frac{1}{\sqrt{x}}=(-1)\cdot x^{-\frac{1}{2}}$，

所以将通项式中的底数统一指数化变形为：

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot {\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r$

将所有的常数系数项前置，并利用同底数幂乘法运算法则合并自变量 $x$ 的指数分量：

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{\frac{1}{2}(6-r)-\frac{1}{2}r}$

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{3-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r}$

$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r\cdot 2^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{3-r}\text{(1)}$

因为目标项为常数项，即自变量 $x$ 的非零指数被消去，其总幂次必须严格等于 0，

所以令①式中 $x$ 的指数为零：

$3-r=0⟹r=3$

因为 $r=3\in [0,6]$，符合定义域约束，说明展开式中的第 $4$ 项（即 $T_4$ ）为常数项。

将 $r=3$ 代回①式的系数部分中进行数值计算：

$\text{常数项}=T_4={\mathrm{C}}_6^3\cdot 2^{6-3}\cdot (-1{)}^3$

$\text{常数项}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times 2^3\times (-1)$

$\text{常数项}=20\times 8\times (-1)=-160$

故答案为：-160

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}$ 的代数书写、分数指数幂的同底数相加减、指定项（常数项）的指数令零消元。

2. 核心方法：通项指数方程法。处理二项式中求常数项、有理项、指定幂次项的题型时，统一通过通项公式写出关于 $r$ 的代数式，再通过构建关于指数的一元一次方程锁定 $r$ 值。

3. 避坑指南：

• 因为二项式中间带有负号，部分考生容易在写通项时漏掉第二项的负号项 ${\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r$，或者在最后计算 $(-1{)}^3$ 时忘记变号，导致错算成正的 $160$。牢记系数符号必须视作项的一部分整体参与运算。

• 因为对通项的序号认知不清，容易混淆“常数项是第几项”与“ $r$ 的值”。本题中常数项对应 $r=3$，但它是展开式中的第 $r+1=4$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第六章《计数原理》中关于二项式定理应用的章末常规基础填空题。

2. 结论推广：

• 对称根式型二项式常数项快速模型：在实数系中，设有一对底数互为倒数且带有根式的标准二项式 ${\left(A\cdot x^{\alpha }+B\cdot x^{-\alpha }\right)}^n$。因为其自变量在相乘时指数天然对称抵消，所以只有当总幂次 $n$ 为偶数时，该展开式才必定存在唯一的常数项。且因为指数消元方程 $n\alpha -r\alpha -r\alpha =0⟹r\equiv \frac{n}{2}$ 恒成立，所以其常数项的代数系数值永远刚性锁定为如下不含自变量的一元显式组合模型：

$$\text{常数项} \equiv \mathrm{C}_n^{\frac{n}{2}} \cdot A^{\frac{n}{2}} \cdot B^{\frac{n}{2}}$$

• 因为本题中 $n=6,A=2,B=-1$，代入该推广模型可一秒直接写出： $\text{常数项}={\mathrm{C}}_6^3\cdot 2^3\cdot (-1{)}^3=20\times 8\times (-1)=-160$。掌握这一“倒数根式对称二项式模型”，可在考场上彻底省略写通项解方程的步骤，实现一步心算得出。

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷理-13 填-二项式定理

• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项

• 2024-北京卷-04 单-二项式定理