2012-湖南卷理-16 填-数列归纳推理

本题导读

本题考查数列的综合应用与逻辑推理，以及归纳推理与算法变换。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 设 $N=2^n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 2)$，将 $N$ 个数 $x_1,x_2,\dots ,x_N$ 依次放入编号为 $1,2,\dots ,N$ 的 $N$ 个位置，得到排列 $P_0=x_1{x}_2\dots x_N$.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 $\frac{N}{2}$ 和后 $\frac{N}{2}$ 个位置，得到排列 $P_1=x_1{x}_3\dots x_{N-1}{x}_2{x}_4\dots x_N$.将此操作称为 $C$ 变换.将 $P_1$ 分成两段，每段 $\frac{N}{2}$ 个数，并对每段作 $C$ 变换，得到 $P_2$；当 $2\le i\le n-2$ 时，将 $P_i$ 分成 $2^i$ 段，每段 $\frac{N}{2^i}$ 个数，并对每段作 $C$ 变换，得到 $P_{i+1}$.例如，当 $N=8$ 时， $P_2=x_1{x}_5{x}_3{x}_7{x}_2{x}_6{x}_4{x}_8$，此时 $x_7$ 位于 $P_2$ 中的第 $4$ 个位置.

(1)当 $N=16$ 时， $x_7$ 位于 $P_2$ 中的第 $\underline{}$ 个位置；

(2)当 $N=2^n(n\ge 8)$ 时， $x_{173}$ 位于 $P_4$ 中的第 $\underline{}$ 个位置.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 小规模直接推演（第一问）：当 $N=16$ 时，直接写出初始状态 $P_0$。执行第一次整体 $C$ 变换得到 $P_1$。按照规则将 $P_1$ 对半切分为两段，每段 8 个元素，分别在两段内部独立执行 $C$ 变换（即提取各自段内的奇数位和偶数位重新重排），直接观察 $x_7$ 的最终索引。
2. 大规模分治卡位推演（第二问）：当 $N=2^n$ 且面临项数高达 $173$ 时，无法直接列举。必须深入探究 $C$ 变换的位置映射数学法则。

• 设某个元素在当前段内的局部位次为 $k$。若 $k$ 为奇数，其将被洗牌到前半段的第 $\frac{k+1}{2}$ 位；若 $k$ 为偶数，其将被洗牌到后半段的第 $\frac{k}{2}$ 位。
• 每一次分裂变换，相当于把空间切分为 $2^i$ 段。我们只需要实时追踪 $x_{173}$ 当前处于哪一段、以及在其所在的子段内部处于第几个相对位置，再通过全局叠加公式即可锁定最终结果。

✅【答案】

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(1) 6

(2) $3\times 2^{n-4}+11$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 当 $N=16$ 时，求解 $x_7$ 在 $P_2$ 中的位置

依据题意，初始排列序列 $P_0$ 包含 16 个元素： $P_0=x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5{x}_6{x}_7{x}_8{x}_9{x}_{10}{x}_{11}{x}_{12}{x}_{13}{x}_{14}{x}_{15}{x}_{16}$

对 $P_0$ 整体执行第一次 $C$ 变换：提取奇数项（第 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 位）前置，偶数项（第 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 位）后置，得到 $P_1$： $P_1=(\underset{\text{前半段}}{\underbrace{x_1{x}_3{x}_5{x}_7{x}_9{x}_{11}{x}_{13}{x}_{15}}})\cdot (\underset{\text{后半段}}{\underbrace{x_2{x}_4{x}_6{x}_8{x}_{10}{x}_{12}{x}_{14}{x}_{16}}})$

按照规则，将 $P_1$ 精确对半切分为两段，每段包含 $\frac{16}{2}=8$ 个元素。 我们要追踪的元素为 $x_7$。观察可知， $x_7$ 此时位于 $P_1$ 前半段的第 4 个位置。

接下来对前半段 $(x_1,x_3,x_5,x_7,x_9,x_{11},x_{13},x_{15})$ 独立进行局部 $C$ 变换：

• 其局部的奇数位（第 1, 3, 5, 7 位）对应的元素分别为： $x_1,x_5,x_9,x_{13}$；
• 其局部的偶数位（第 2, 4, 6, 8 位）对应的元素分别为： $x_3,x_7,x_{11},x_{15}$。

按照 $C$ 变换规则，局部奇数位按原顺序放入前 4 个位置，局部偶数位按原顺序放入后 4 个位置，故变换后前半段重组为： $x_1{x}_5{x}_9{x}_{13}{x}_3{x}_7{x}_{11}{x}_{15}$

观察该重组后的序列，元素 $x_7$ 显然位于该局部分支的第 6 个位置。 因为它是整个排列的第一段，其局部位置即为全局位置。

所以，当 $N=16$ 时， $x_7$ 位于 $P_2$ 中的第 $6$ 个位置。

（2） 当 $N=2^n(n\ge 8)$ 时，求解 $x_{173}$ 在 $P_4$ 中的位置

因为元素 $x_{173}$ 对应的下标为 $173$，所以它在初始排列 $P_0$ 中的绝对几何位置就是第 173 个位置。 我们利用区间迭代分治法，顺次追踪每一步变换后其所在的全局位置：

• 第一步：从 $P_0\to P_1$ （整体 1 段，每段 $2^n$ 个元素） 因为 $173$ 是一个奇数，所以根据整体 $C$ 变换规则，它将被提取并移送到前半段。 其在前半段中的局部位次满足奇数映射公式： $\text{位置}=\frac{173+1}{2}=87$ 因为它是第 1 段，所以此时 $x_{173}$ 在 $P_1$ 中的全局绝对位置为第 87 个位置。

• 第二步：从 $P_1\to P_2$ （切分为 2 段，每段 $\frac{N}{2}=2^{n-1}$ 个元素） 因为绝对位置 87 小于半长，说明它落在 $P_1$ 的第一段内部，且在该段内的局部相对位置就是 $87$。 因为 $87$ 依旧是一个奇数，对其所在的段独立执行局部 $C$ 变换后，它再次被移送到该段的前半部分。 其局部位次满足奇数映射公式： $\text{位置}=\frac{87+1}{2}=44$ 因为属于整个排列的第 1 段内部的前半部分，所以此时 $x_{173}$ 在 $P_2$ 中的全局绝对位置为第 44 个位置。

• 第三步：从 $P_2\to P_3$ （切分为 4 段，每段 $\frac{N}{4}=2^{n-2}$ 个元素） 当前绝对位置为 44。我们要判断它落入此时 4 段中的哪一段。每段的固有长度为 $2^{n-2}$。 因为 $44$ 是一个偶数，根据变换规则，它将被移送到当前所在段的后半部分。 我们直接精确计算局部位次：在当前重组前，它在长为 $2^{n-2}$ 的段内处于第 44 位。 因为 $44$ 是偶数，局部 $C$ 变换后，它被洗牌到该段的后半部分，局部位次满足偶数映射公式： $\text{局部相对位置}=\frac{44}{2}=22$ 因为被归入后半部分，在四分段视角下，它等价于从原先的第 1 段（长 $2^{n-2}$ ），分裂进入了第 2 段（长 $2^{n-3}$ ）的内部。 故此时 $x_{173}$ 在 $P_3$ 中的全局绝对位置表达式为：前 1 段的总长 + 局部相对位置，即： $\text{绝对位置}=1\times 2^{n-3}+22=2^{n-3}+22$

• 第四步：从 $P_3\to P_4$ （切分为 8 段，每段 $\frac{N}{8}=2^{n-3}$ 个元素） 由上一步可知， $x_{173}$ 当前驻留在 $P_3$ 的第二段内部，且在该段内的局部相对位置为 22（每段总长为 $2^{n-3}$ ）。 对该段独立执行局部 $C$ 变换： 因为 $22$ 是一个偶数，所以它再次被洗牌到该段内部的后半部分。 其局部位次满足偶数映射公式： $\text{局部相对位置}=\frac{22}{2}=11$ 因为进入了后半部分，在八分段视角下，原本长为 $2^{n-3}$ 的第二段再次一分为二，它进入了后半个子段（即变成了全局 8 段中的第 4 段）。 故此时 $x_{173}$ 在 $P_4$ 中的全局绝对位置表达式为：前 3 段的总长 + 局部相对位置。 由于此时每段的固有长度变成了 $\frac{N}{16}=2^{n-4}$，所以满足： $\text{绝对位置}=3\times 2^{n-4}+11$

故答案为：（1）6 ；（2）$3\times 2^{n-4}+11$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义洗牌算法的数字逻辑抽象、高维标量下的分治区间定位、奇偶项双通道坐标迭代映射方程。
2. 核心方法：区间分治卡位推导法。处理这种带有多次分段分裂性质的压轴新定义题，最核心的突破口在于将“全局绝对位置”转化为“子段编号 + 段内局部相对位置”的双维度指标。每执行一次变换，通过对当前相对位置的奇偶性进行断定（奇数进前半部分，偶数进后半部分），即可像剥洋葱一样逐层精确锁定元素在下一阶复杂级数中的绝对坐标。
3. 避坑指南：

• 因为在第二问中步进到第三步和第四步时，空间已经切分成了多段，部分考生容易只算出局部相对位置 $22$ 或 $11$，而漏掉了前面已经跳过的完整子段的基准长度（如 $3\times 2^{n-4}$ ），导致大面积失分。牢记多段重组题必须“基准跨度 + 局部步进”联合表达。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第六章《计数原理》中关于构造性组合算法及数论探索的压轴新定义填空题。其深层高等数学背景依托于计算机科学中著名的**“哥斯图洗牌算法（Cooley-Tukey FFT 分治重排模型）”及“基-2 快速傅里叶变换（FFT）中的倒位序（Bit-Reversal）通用地址映射法则”**。
2. 结论推广：

• 基-2分治洗牌映射多阶收敛模型：在二进制数据流中，设总空间长度 $N=2^n$。对其执行 $m$ 次标准 $C$ 阶分段洗牌变换后，若一个初始位置为 $K$ 且在迭代链中表现为“奇-奇-偶-偶”特征的元素。因为每一次奇偶判定都严格对应着二进制最低位的剥离，所以其在 $P_m$ 中的最终全局坐标位置 $f(K)$ 恒表现为如下高度对称的加权齐次分裂矩阵公式： $f(K)\equiv \text{Block\_Index}\times 2^{n-m}+\text{Local\_Offset}$
• 掌握本题中展示的“奇偶分流、逐阶段位降维”的分治解析逻辑，能让考生在未来的任何高难度新定义数论压轴大题中，均能做到思维有据可依，稳拿立体化的卷面满分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质 类题演练 (Links)

• 2010-陕西卷文-11 填-归纳推理等式

• 2013-山东卷理-13 填-程序框图

• 2013-广东卷理-08 单-归纳推理与类比推理