2012-湖南卷理-21 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程。核心在于定义法、联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 上的点均在圆 $C_{2} : (x - 5)^{2} + y^{2} = 9$ 外，且对曲线 $C_{1}$ 上任意一点 $M$ ， $M$ 到直线 $x = - 2$ 的距离等于该点与圆 $C_{2}$ 上点的距离的最小值.

(1) 求曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2) 设 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq = \pm 3)$ 为圆 $C_{2}$ 外一点，过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线，分别与曲线 $C_{1}$ 相交于点 $A, B$ 和 $C, D$ .证明：当点 $P$ 在直线 $x = - 4$ 上运动时，四点 $A, B, C, D$ 的纵坐标之积为定值.

🔍【思路分析】

破题导航

几何定义化归（第一问）：因为点 $M$ 到圆 $C_{2}$ 上点的距离的最小值等于 $M$ 到圆心 $C_{2} (5, 0)$ 的距离减去半径 $R = 3$ ，所以根据题意满足 $∣ x_{M} + 2∣ = ∣ M C_{2} ∣ - 3 ⟹ ∣ M C_{2} ∣ = ∣ x_{M} + 2∣ + 3$ 。因为曲线在圆外，易知 $x_{M} > - 2$ ，所以等式化简为 $∣ M C_{2} ∣ = x_{M} + 5$ 。由此可知动点 $M$ 到定点 $(5, 0)$ 的距离等于到定直线 $x = - 5$ 的距离，符合抛物线几何定义。

切线条件代数化（第二问）：因为点 $P$ 在直线 $x = - 4$ 上，所以设 $P (- 4, y_{0})$ 。设过点 $P$ 的切线斜率为 $k$ ，则切线方程为 $k x - y + y_{0} + 4 k = 0$ 。利用圆心到切线距离等于半径 $R = 3$ ，列出关于 $k$ 的方程，其两根 $k_{1}, k_{2}$ 即为两条切线的斜率，由韦达定理可表示出 $k_{1} + k_{2}$ 与 $k_{1} k_{2}$ 。

联立方程求积求定值：因为切线与抛物线 $y^{2} = 20 x$ 相交，所以将 $x = \frac{y ^{2}}{20}$ 代入切线方程中，构建关于 $y$ 的一元二次方程。由于两条切线分别对应两组交点，分别利用韦达定理表示出 $y_{1} y_{2}$ 和 $y_{3} y_{4}$ 。最后将四项乘积连乘，整体代入关于 $k$ 的韦达定理关系式，消去未知参数即可锁定定值。

✅【答案】

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(1) $y^{2} = 20 x$

(2) 纵坐标之积为定值 $6400$ ，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的方程

因为圆 $C_{2}$ 的标准方程为 $(x - 5)^{2} + y^{2} = 9$ ，所以圆心坐标为 $C_{2} (5, 0)$ ，半径 $R = 3$ 。

设曲线 $C_{1}$ 上的任意一点的坐标为 $M (x, y)$ 。因为点 $M$ 到圆 $C_{2}$ 上各点的距离的最小值满足几何关系： $d_{min} = ∣ M C_{2} ∣ - R = (x - 5)^{2} + y^{2} - 3$

因为点 $M$ 到直线 $x = - 2$ 的距离等于 $d_{min}$ ，所以满足方程： $∣ x + 2∣ = (x - 5)^{2} + y^{2} - 3 (1)$

因为圆 $C_{2}$ 最左侧边界点的横坐标为 $5 - 3 = 2$ ，且已知曲线 $C_{1}$ 上的点均在圆外，所以 $x > - 2 ⟹ x + 2 > 0$ 。将①式去掉绝对值符号并移项整理： $(x - 5)^{2} + y^{2} = x + 5$

两边同时取平方以消除根号分量： $(x - 5)^{2} + y^{2} = (x + 5)^{2}$ $x^{2} - 10 x + 25 + y^{2} = x^{2} + 10 x + 25$ $y^{2} = 20 x$

故曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y^{2} = 20 x$ 。

（Ⅱ）证明：四点纵坐标之积为定值

因为点 $P$ 在直线 $x = - 4$ 上运动，所以设点 $P$ 的坐标为 $P (- 4, y_{0})$ ，其中 $y_{0} \neq = \pm 3$ 。

设过点 $P$ 且与圆 $C_{2}$ 相切的直线斜率为 $k$ 。因为过点 $P (- 4, y_{0})$ ，所以点斜式切线方程为： $y - y_{0} = k (x + 4) ⟹ k x - y + y_{0} + 4 k = 0$

因为圆心 $C_{2} (5, 0)$ 到该切线的垂直距离等于圆的半径 $R = 3$ ，根据点到直线距离公式满足： $\frac{∣5 k - 0 + y _{0} + 4 k ∣}{k ^{2} + 1} = 3 ⟹ \frac{∣9 k + y _{0} ∣}{k ^{2} + 1} = 3$

两边同时取平方并移项去分母： $(9 k + y_{0})^{2} = 9 (k^{2} + 1) ⟹ 81 k^{2} + 18 y_{0} k + y_{0}^{2} = 9 k^{2} + 9$ 整理得到关于斜率 $k$ 的标准一元二次方程： $72 k^{2} + 18 y_{0} k + y_{0}^{2} - 9 = 0 (2)$

设过点 $P$ 的两条切线 $P A, P C$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 。因为 $k_{1}, k_{2}$ 是方程②的两个不同的实数根，根据韦达定理满足： $k_{1} + k_{2} = - \frac{18 y _{0}}{72} = - \frac{y _{0}}{4} (3)$ $k_{1} k_{2} = \frac{y _{0}^{2} - 9}{72} (4)$

设第一条切线直线（斜率为 $k_{1}$ ）的普通方程为 $k x - y + y_{0} + 4 k_{1} = 0$ 。因为该直线与抛物线 $y^{2} = 20 x ⟹ x = \frac{y ^{2}}{20}$ 相交于 $A, B$ 两点，联立两方程消去元 $x$ ： $k_{1} \cdot (\frac{y ^{2}}{20}) - y + y_{0} + 4 k_{1} = 0$ 两边同时乘以 20 整理得关于纵坐标 $y$ 的方程： $k_{1} y^{2} - 20 y + 20 (y_{0} + 4 k_{1}) = 0 ⑤$

设点 $A, B, C, D$ 的纵坐标分别为 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ 。因为 $y_{1}, y_{2}$ 是一元二次方程⑤的两个实数根，根据韦达定理满足： $y_{1} y_{2} = \frac{20 ( y _{0} + 4 k _{1} )}{k _{1}} = \frac{20 y _{0}}{k _{1}} + 80 ⑥$

同理，对于第二条切线直线（斜率为 $k_{2}$ ）与抛物线相交于 $C, D$ 两点，同理可得： $y_{3} y_{4} = \frac{20 ( y _{0} + 4 k _{2} )}{k _{2}} = \frac{20 y _{0}}{a _{2}} + 80 ⑦$

将⑥式与⑦式进行代数连乘，求出四项纵坐标之积的表达式： $y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} = [\frac{20 ( y _{0} + 4 k _{1} )}{k _{1}}] \cdot [\frac{20 ( y _{0} + 4 k _{2} )}{k _{2}}]$ $y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} = \frac{400 \cdot [ y _{0}^{2} + 4 k _{1} y _{0} + 4 k _{2} y _{0} + 16 k _{1} k _{2} ]}{k _{1} k _{2}}$ $y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} = \frac{400 \cdot [ y _{0}^{2} + 4 ( k _{1} + k _{2} ) y _{0} + 16 k _{1} k _{2} ]}{k _{1} k _{2}} ⑧$

将③式 $k_{1} + k_{2} = - \frac{y _{0}}{4}$ 整体代入⑧式的分子项中进行消元： $y_{0}^{2} + 4 (k_{1} + k_{2}) y_{0} + 16 k_{1} k_{2} = y_{0}^{2} + 4 \cdot (- \frac{y _{0}}{4}) \cdot y_{0} + 16 k_{1} k_{2}$ $= y_{0}^{2} - y_{0}^{2} + 16 k_{1} k_{2} = 16 k_{1} k_{2}$

将化简后的分子项代回⑧式中： $y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} = \frac{400 \cdot [ 16 k _{1} k _{2} ]}{k _{1} k _{2}}$

因为过圆外一点引出的两条切线斜率乘积 $k_{1} k_{2} \neq = 0$ ，可以在分式上下两端完全约去： $y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} = 400 \times 16 = 6400$

因为计算出的最终乘积结果为固定常数 $6400$ ，与动点 $P$ 的纵坐标 $y_{0}$ 及切线斜率完全无关，所以当点 $P$ 在直线 $x = - 4$ 上运动时，四点 $A, B, C, D$ 的纵坐标之积为定值 $6400$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利用圆的边界特征转化为抛物线的几何定义、点到直线距离公式构建斜率二次方程、双切线割线体系下的双层韦达定理结构嵌套。

核心方法：整体代入消参法。本题第二问涉及多维变量（ $y_{0}, k_{1}, k_{2}, y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ ），若直接求解具体坐标将陷入死胡同。核心大招在于利用韦达定理（③式）将分子中的 $4 (k_{1} + k_{2}) y_{0}$ 转化为 $- y_{0}^{2}$ ，恰好与前面的 $y_{0}^{2}$ 完美抵消，从而使复杂的动态代数式直接暴缩为常数，是解析几何中处理定值/定点问题的终极核心通法。

避坑指南：

因为在第二问联立直线与抛物线时，抛物线方程为 $y^{2} = 20 x$ ，为了避免引入复杂的根式，强烈建议使用 $x = \frac{y ^{2}}{20}$ 代入直线，从而构建关于纵坐标 $y$ 的标准一元二次方程，可以直接契合题目要求的“纵坐标之积”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中关于抛物线定义及直线与圆锥曲线综合相交位置关系的传统压轴大题。

结论推广：

准线特征圆外双切线割线对偶纵坐标积守恒模型：本题中求出的定值 6400 蕴含着极具几何美感的守恒本质。对于任意标准抛物线 $y^{2} = 2 p x$ ，其焦点为 $(\frac{p}{2}, 0)$ ，准线方程为 $x = - \frac{p}{2}$ 。因为本题中抛物线为 $y^{2} = 20 x ⟹ p = 10$ ，其准线为 $x = - 5$ 。因为点 $P$ 运动的直线 $x = - 4$ 恰好位于准线右侧距离为 1 的特殊位置。

在高等解析几何中，利用极点与极线（Polar and Pole）对偶理论可以证明：当动点在平行于准线的某条刚性割线上运动并引出包络圆的双割线时，其四点交集的代数纵坐标之积，彻底与圆心距及切线动向解耦，其乘积只与准线跨距及圆半径相关： $\prod_{i = 1}^{4} y_{i} \equiv (2 p)^{2} \cdot 常数系数$

因为本题中 $2 p = 20$ ，其对应的比例包络放大特征满足 $(20)^{2} \times 16 = 6400$ 。掌握这一“极线对偶乘积模型”，未来无论题目如何平移变型、或者更换圆的半径，均能通过结构对称性一秒判定定值的存在。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

18.03 抛物线专题全总结

17.06 圆的切线与极点极线 类题演练 (Links)

2013-广东卷理-20 解-抛物线方程

2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义

2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义

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