2012-福建卷文-11 单-数列周期求和

本题导读

本题考查数列的周期性，以及三角函数求值。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n=n\cos \frac{n\pi }{2}$，其前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_{2012}$ 等于()

A. $1006$　　　　　　B. $2012$　　　　　　C. $503$　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

$a_n$ 依次为 $0,-2,0,4,\cdots$，每 $4$ 项和为 $2$，$S_{2012}=503\times 2=1006$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

逐项计算：$a_1=1\cdot \cos \frac{\pi }{2}=0$，$a_2=2\cos \pi =-2$，$a_3=3\cos \frac{3\pi }{2}=0$，$a_4=4\cos 2\pi =4$。

由 $\cos \frac{(n+4)\pi }{2}=\cos \left(\frac{n\pi }{2}+2\pi \right)=\cos \frac{n\pi }{2}$ 知 $\{a_n\}$ 是周期为 $4$ 的周期数列，且每连续 $4$ 项之和为 $0-2+0+4=2$。

$2012=503\times 4$，故 $S_{2012}=503\times 2=1006$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：周期数列的求和；诱导公式

核心方法：算前四项找周期，再按”整周期组数 × 每组和”计算

避坑指南：余弦的周期是 $4$（对应角增加 $2\pi$），别当成 $2$；每组和是 $2$ 不是 $0$（负项 $-2$ 与正项 $4$ 不对称）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：周期数列求和题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 12 题、2013 年大纲卷文第 13 题同族。

结论推广：$\cos \frac{n\pi }{2}$ 按 $n=1,2,3,4$ 依次取 $0,-1,0,1$。

方法推广：含三角因子的数列，先列前若干项观察周期，再把 $n$ 写成”周期 × 组数 + 余数”分段求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-12 单-数列奇偶分组求和
• 2013-大纲卷文-13 填-周期函数求值
• 2014-四川卷文-13 填-周期函数求值