2012-新课标卷文-12 单-数列奇偶分组求和

本题导读

本题考查数列的递推关系，以及分组求和。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1{)}^n{a}_n=2n-1$，则 $\{a_n\}$ 的前 $60$ 项和为()

A. $3690$　　　　　B. $3660$　　　　　C. $1845$　　　　　D. $1830$

🔍【思路分析】

破题导航

奇式减偶式得相邻奇项和 $a_{2k+1}+a_{2k-1}=2$，奇式加偶式得相邻偶项和 $a_{2k+2}+a_{2k}=8k$，$S_{60}=15\times 2+8\times (1+3+\cdots +29)=1830$，选 D。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

递推式按 $n$ 的奇偶拆开： $a_{2k}-a_{2k-1}=4k-3(n=2k-1),a_{2k+1}+a_{2k}=4k-1(n=2k)$

两式相减（偶式减奇式）：$a_{2k+1}+a_{2k-1}=2$，即下标相差 $2$ 的相邻奇数项之和恒为 $2$。

将 $a_{2k+2}-a_{2k+1}=4k+1$（$n=2k+1$ 的奇式）与 $a_{2k+1}+a_{2k}=4k-1$ 相加：$a_{2k+2}+a_{2k}=8k$，即下标相差 $2$ 的相邻偶数项之和为 $8k$。

于是前 $60$ 项分两组： ${\sum }_{j=1}^{30}{a}_{2j-1}=\underset{2}{\underbrace{(a_1+a_3)}}+\cdots +\underset{2}{\underbrace{(a_{57}+a_{59})}}=15\times 2=30$ ${\sum }_{j=1}^{30}{a}_{2j}=(a_2+a_4)+(a_6+a_8)+\cdots +(a_{58}+a_{60})=8\times 1+8\times 3+\cdots +8\times 29=8\times \frac{15\times (1+29)}{2}=1800$

$S_{60}=30+1800=1830$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由递推关系求和；奇偶项分组与隔项配对

核心方法：把递推按奇偶拆成两条 → 相加减消元 → 相邻同奇偶项配对求和

避坑指南：①$(-1{)}^n$ 一定按奇偶拆，直接叠加会消不干净；②偶项配对求和时系数 $8k$ 的 $k$ 取奇数 $1,3,\cdots ,29$，别写成等差前 15 项和的 $8k$ 全序列。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$(-1{)}^n$ 型递推求和名题，与 2013 年上海卷文第 22 题（递推数列形态）同族，是”隔项结构”的经典范本。

结论推广：一般地，$a_{n+1}+(-1{)}^n{a}_n=f(n)$ 型：相邻奇项和与相邻偶项和都可由”奇式 ± 偶式”得到，再分段配对。

方法推广：递推数列求和先看符号结构：出现 $(-1{)}^n$ 就隔项配对，把”和”凑成可以等差/常数求和的小块。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和
• 2013-上海卷文-22 解-递推数列形态