2012-福建卷文-15 填-二次不等式恒成立

本题导读

本题考查二次不等式恒成立，以及判别式。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 已知关于 $x$ 的不等式 $x^2-ax+2a>0$ 在 $\mathbf{R}$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$\Delta =a^2-8a<0$，得 $0<a<8$。

✅【答案】

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$(0,8)$

✍【详细解析】

Abstract

二次项系数 $1>0$，抛物线开口向上，$x^2-ax+2a>0$ 对一切 $x\in \mathbf{R}$ 成立等价于与 $x$ 轴无交点，即

$\Delta =(-a{)}^2-4\times 1\times 2a<0$，即 $a^2-8a<0$，$a(a-8)<0$。

解得 $0<a<8$。

故答案为 $(0,8)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次不等式在 $\mathbf{R}$ 上恒成立的条件；判别式法

核心方法：开口向上恒正 $⟺\Delta <0$，解出参数范围

避坑指南：二次恒成立问题先确认二次项系数的符号；本题 $a=0$ 时不等式为 $x^2>0$ 在 $x=0$ 处不成立，故 $0$ 取不到，端点要舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次不等式恒成立题，与 2025 年天津卷第 15 题、2013 年安徽卷理第 17 题同族。

结论推广：$A{x}^2+Bx+C>0$ 恒成立 $⟺A>0$ 且 $\Delta <0$（$A⩽0$ 时需单独讨论）。

方法推广：一元二次恒成立走判别式；若二次项系数含参数，须按系数是否为零分类。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2025-天津卷-15 填-一元二次不等式恒成立
• 2013-安徽卷理-17 解-一元二次不等式
• 2013-广东卷理-09 填-一元二次不等式