2012-福建卷理-06 单-定积分

本题导读

本题考查几何概型及其概率计算公式，以及定积分的几何意义。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 如图所示，在边长为 1 的正方形 $OABC$ 中任取一点 $P$，则点 $P$ 恰好取自阴影部分的概率为()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　　C. $\frac{1}{6}$　　　　　　　D. $\frac{1}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确立几何概型总测度：试验的全体结果构成的区域为正方形 $OABC$，其边长为 1，直接用面积公式求得总面积 $S_{\text{正方形}}$。
2. 确定积分边界与包络曲线：由图可知，阴影区域在 $x$ 轴上的投影区间为 $[0,1]$。其上边界由幂函数（根式曲线） $y=\sqrt{x}$ 包络，下边界由正方形对角线直线 $y=x$ 包络。
3. 积分求解阴影面积：利用定积分的几何意义，阴影部分面积等于上曲线函数与下直线函数作差后在 $[0,1]$ 上的定积分，即 $S_{\text{阴影}}={\int }_0^1(\sqrt{x}-x)\text{d}x$。
4. 求取比值概率：依据几何概型概率公式 $P=\frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{正方形}}}$ 锁定最终正确选项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算总体样本空间的测度（正方形面积） 已知正方形 $OABC$ 的边长为 1，其总面积为： $S_{\text{正方形}}=1\times 1=1$

第二步：利用定积分求阴影区域的面积 分析阴影部分的图象边界：

• 曲线的交点：联立两边界曲线方程 $\{\begin{array}{l}y=\sqrt{x}\\ y=x\end{array}⟹x=x^2⟹x(x-1)=0$，解得交点横坐标分别为 $x=0$ 和 $x=1$。故积分区间为 $[0,1]$。
• 在区间 $[0,1]$ 上，微元顶端由曲边 $y=\sqrt{x}$ 挡住，底端由直边 $y=x$ 挡住。

利用微积分基本定理，对两函数作差进行定积分计算： $S_{\text{阴影}}={\int }_0^1(\sqrt{x}-x)\text{d}x={\int }_0^1\left(x^{\frac{1}{2}}-x\right)\text{d}x$

寻找被积函数的原函数： $\int \left(x^{\frac{1}{2}}-x\right)\text{d}x=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}{x}^{\frac{1}{2}+1}-\frac{1}{2}{x}^2=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}{x}^2$

代入上下限 $[0,1]$ 进行牛顿-莱布尼茨公式计算： $S_{\text{阴影}}={\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}{x}^2\right)|}_0^1=\left(\frac{2}{3}\times 1^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\times 1^2\right)-(0-0)$ $S_{\text{阴影}}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4-3}{6}=\frac{1}{6}$

第三步：计算几何概型的概率值 根据几何概型的面积测度比公式，点 $P$ 落在阴影部分的概率 $P$ 为： $P=\frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{正方形}}}=\frac{\frac{1}{6}}{1}=\frac{1}{6}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分公式 $\int x^{\alpha }\text{d}x=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}$ 的幂指数运算、几何概型以面积为测度的概率映射。
2. 核心方法：曲边割补定积分法。处理由高阶曲线（幂、指、对、三角函数）围成的规则封闭阴影图形的面积与概率问题，通过交点确定积分上下限，采用“上函数减去下函数”进行定积分，是解析几何与概率交叉的标准化大招。
3. 避坑指南：

• 根式求导积分幂次算错：在求 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ 的原函数时，部分考生容易错记为导数公式，写成 $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$。切记积分是求导的逆运算，幂次应当“加 1 翻倒”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中定积分在几何面积求值中的应用，与必修第三册《概率》中几何概型章节的融合压轴选择题。
2. 结论推广:

• 对称抛物幂函数围成阴影面积几何概型通用模型：在第一象限标准单位正方形内，由幂曲线 $y=x^n(n>1)$ 与其关于对角线 $y=x$ 对称的自反函数曲线 $y=x^{\frac{1}{n}}$ 围成的中间曲边叶形阴影区域。
• 经对称作差积分化简后，该双叶曲边阴影的总代数面积恒满足如下高度规整的比例推广公式： $S_{\text{叶形}}={\int }_0^1\left(x^{\frac{1}{n}}-x^n\right)\text{d}x=\frac{n-1}{n+1}$
• 本题中 $n=2$（即 $y=x^2$ 的反函数 $y=\sqrt{x}$ 与直线 $y=x$ 组成的半叶形面积）。由对称性，半叶形面积恰好是全叶形的一半： $S_{\text{半叶}}=\frac{1}{2}\times \frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
• 从而直接快速得出求得概率为 $\frac{1}{6}$。熟记这一叶形面积收敛公式，在面对任何高阶无理曲线围成的面积与几何概型问题时，均能做到直接一步输出答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型 类题演练 (Links)

• 2000-新课标理-08 单-定积分的几何意义

• 2009-福建卷理-04 单-微积分基本定

• 2010-新课标卷理-13 填-几何概型