2010-新课标卷理-13 填-几何概型

本题导读

考查蒙特卡洛（Monte Carlo）随机模拟实验估算定积分的原理，核心在于利用几何概型建立“落在曲线下方的点数比例”与“区域面积之比”的对应关系。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 设 $y=f(x)$ 为区间 $[0,1]$ 上的连续函数，且恒有 $0\le f(x)\le 1$，可以用随机模拟方法近似计算积分 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$.先产生两组（每组 $N$ 个）区间 $[0,1]$ 上的均匀随机数 $x_1,x_2,\dots ,x_N$ 和 $y_1,y_2,\dots ,y_N$，由此得到 $N$ 个点 $(x_i,y_i)(i=1,2,\dots ,N)$，再数出其中满足 $y_i\le f(x_i)(i=1,2,\dots ,N)$ 的点数 $N_1$，那么由随机模拟方法可得积分 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ 的近似值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定投点区域：点 $(x_i,y_i)$ 均落在正方形区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$ 内，总面积 $S_D=1\times 1=1$。
2. 确定目标区域：满足 $y_i\le f(x_i)$ 的点落在由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=0,x=1$ 及 $x$ 轴围成的曲边梯形区域 $A$ 内，其面积 $S_A={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。
3. 利用几何概型公式，点的频率近似等于面积比 $\frac{N_1}{N}\approx \frac{S_A}{S_D}$，导出积分的近似值。

✅【答案】

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$\frac{N_1}{N}$

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，$N$ 个点随机均匀分布在边长为 $1$ 的正方形 $D=[0,1]\times [0,1]$ 内，该正方形的面积为： $S_D=1\times 1=1$

由定积分的几何意义可知，曲边梯形区域 $A=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le f(x)\}$ 的面积为： $S_A={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$

由几何概型可知，随机投掷的点落在曲边梯形区域 $A$ 内的概率近似等于区域面积之比： $\frac{N_1}{N}\approx \frac{S_A}{S_D}=\frac{{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}{1}$

因此，积分 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ 的近似值为： $\frac{N_1}{N}$

故答案为：$\frac{N_1}{N}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分几何意义与几何概型（蒙特卡洛方法）的综合应用。
2. 核心方法：频数比值法 $\frac{N_1}{N}=\frac{S_{目标}}{S_{总}}$。
3. 避坑指南：注意总正方形面积为 $1$；若题目改变矩形区间（例如 $x\in [a,b],y\in [0,M]$），则近似值需乘上总矩形面积 $M(b-a)\cdot \frac{N_1}{N}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自算法与概率统计中的蒙特卡洛方法，常用于求解无法直接用初等函数表示的定积分或复杂图形面积。
2. 结论推广：若投点区域为矩形 $[a,b]\times [0,M]$（其中 $0\le f(x)\le M$），满足条件点数为 $N_1$，总点数为 $N$，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx M(b-a)\cdot \frac{N_1}{N}$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-07 单-几何概型
• 2011-江西卷理-12 填-几何概型
• 2011-湖南卷文-15 填-圆与直线几何概型