本题导读
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性规划的交点法与区域判定。
📌【题干】
Question
（2012年福建卷(理)） 若直线 上存在点 满足约束条件 ，则实数 的最大值为()
A. B. 1 C. D. 2
🔍【思路分析】
破题导航
- 转化几何存在性条件：题干称直线 上存在点 落在不等式组表示的区域内，等价于直线 与该约束条件区域的交集非空。
- 消元降维化简（解法一）：由于点必须在直线 上，可以直接将 代入约束条件的前两个不等式中，将二元一次不等式组退化为关于单一变量 的一元一次不等式组。
- 求取 的合规交集区间：解出代入后的 范围，得到直线落在主可行域内的特征 坐标区间 。
- 确定参数边界：引入第三个条件 。要使整个区间内存在点满足 ，只需满足 即可，从而直接锁定 的最大值。
✅【答案】
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B
✍【详细解析】
Abstract
解法一：代数代入消元法（最优解） 因为满足条件的点 必然在直线 上， 我们可以直接将 代入约束条件的不等式组中，将其转化为关于自变量 的一元约束：
- 将 代入第一个不等式 中：
- 将 代入第二个不等式 中：
综上两个核心边界，要使直线 上的点落在前两个不等式围成的公共区域内，自变量 的取值范围必须满足：
现在引入第三个约束条件 。 题目要求直线 上存在点满足该不等式组，即要求集合 与集合 的交集不能为空集。
显然，只要代表右侧射线的起点 不超过已知区间的上限边界 1，两集合就必然存在公共交集。 因此，必须满足：
所以，实数 的最大值为 1。
故选 B
解法二：常规线性规划数形结合法
- 画出主可行域： 在平面直角坐标系中，画出边界直线 与 。 根据“同侧同号”定则， 不等式组 表示夹在两交线左侧的一个无限延伸的 V 形区域。
- 作直线 观察交段：
- 联立 ，得到高位临界交点 。
- 联立 ，得到低位临界交点 。 由此可知，直线 夹在可行域内部的有效线段为 。
- 加入铅直动边界： 直线 是一条随着 大小左右平移的铅直界线， 表示该直线右侧的半平面。 要使线段 与右侧半平面有交点，铅直移动线 最多只能向右平移到经过高位顶点 的位置。 因此， ，其最大上限边界值显然为 1。
故选 B
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：二元一次不等式组的代数消元、存在性命题在集合交集中的充要转化、线性规划临界截距顶点的计算。
- 核心方法：一元代入消元法。处理线性规划中“某一条已知确定的直线 与含参约束域有交点（存在点满足）”的问题，不需要大费周章地在坐标轴上画出多条区域阴影线，直接将直线方程代入不等式组消去 ，将其降维成高一最简单的一元一次不等式组求交集，能大幅度节省作答时间。
- 避坑指南：
- 错把区间下限当最大值：部分考生解出 后，由于没有理清 的方向关系，错把左边界 当成了 的上限，误选 A。切记射线 向右延伸，要与区间有交集，它的起点 绝不能超过区间的右端点。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学（老教材必修五第三章《不等式》线性规划章节，新教材选择性必修第一册《直线与圆的方程》平面区域拓展模块）的压轴综合选择题。考查代数消元与存在性逻辑。
- 结论推广:
- 定直线穿透特征含参平面区域通用快速模型：若已知一固定直线 穿过由两交线包络的平面闭区域，经消元后求得自变量合规区间为 。
- 当引入垂直平移限位边界 时，要满足存在性交集充要条件，其上限参数恒表现为区间右端点的收敛值：
- 对应地，若引入的约束为 ，则其下限参数恒表现为区间左端点的收敛值：
- 熟记这一数轴端点对应模型，在高考考场上遇到任何含参线性规划的存在性小题时，均能直接通过联立方程，直接得出。
🔗【关联脉络】
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