2012-福建卷理-21 解-矩阵与变换

本题导读

本题考查矩阵与变换。核心在于转移代入法、伴随矩阵法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)） 本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分.如果多做，则按所做的前两题计分.

(1)选修 4-2：矩阵与变换

设曲线 $2x^2+2xy+y^2=1$ 在矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right)(a>0)$ 对应的变换作用下得到的曲线为 $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=1$.

(1)求实数 $a,b$ 的值；

(2)求 $M^2$ 的逆矩阵. (注：原题解析图中将矩阵记为了 $A$，为避免与顶点或系数混淆，以下统一使用标准矩阵符号 $M$ 进行严密论证.)

(2)选修 4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 $l$ 上两点 $M,N$ 的极坐标分别为 $(2,0)$ 和 $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\pi }{2}\right)$，圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2+2\cos \theta \\ y=-\sqrt{3}+2\sin \theta \end{array}(\theta \text{ 为参数})$.

(1)设 $P$ 为线段 $MN$ 的中点，求直线 $OP$ 的平面直角坐标方程；

(2)判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系.

(3)选修 4-5：不等式选讲

已知函数 $f(x)=m-|x-2|,m\in \mathbb{R}$，且 $f(x+2)\ge 0$ 的解集为 $[-1,1]$.

(1)求 $m$ 的值；

(2)若 $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=m$，求证： $a+2b+3c\ge 9$.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）矩阵与变换思路：

1. 坐标逆变换几何关系引入：设原曲线上任意一点为 $P(x,y)$，变换后的对应点为 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$。依据矩阵乘法定义，建立映射： $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)⟹\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=ax\\ y^{\prime }=bx+y\end{array}$。
2. 逆向代入消元（关键步）：由于已知新点 $P^{\prime }$ 严格在单位圆 $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=1$ 上，将上述表达式直接代入圆方程，将其还原为关于 $x,y$ 的二次齐次多项式，通过与原曲线系数一一对应对齐，利用 $a>0$ 锁死 $a$ 和 $b$ 的值。
3. 求取逆矩阵：先通过矩阵乘法算出 $M^2$，再利用二阶矩阵求逆公式 ${\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{AD-BC}\left(\begin{array}{cc}D& -B\\ -C& A\end{array}\right)$ 算出结果。

（2）坐标系与参数方程思路：

1. 极坐标转换定点：利用公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，将 $M(2,0)$ 和 $N\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\pi }{2}\right)$ 翻译为直角坐标系下的具体定点。
2. 中点及直线方程计算：利用中点坐标公式算出 $P$ 点，根据两点式或斜率直接求出过原点的直线 $OP$ 的方程。
3. 参数消元判定线圆位置关系：通过 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 将圆 $C$ 的参数方程消去 $\theta$ 化为直角坐标标准圆。求出直线 $l$（即过 $M,N$ 的直线）的一般式方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 $d$，将其与半径 $r=2$ 进行大小比较从而做出位置判定。

（3）不等式选讲思路：

1. 绝对值不等式反向解集卡位：写出 $f(x+2)=m-|x|\ge 0⟹|x|\le m$。根据绝对值几何意义，其解集通式为 $[-m,m]$。通过与已知解集 $[-1,1]$ 进行对齐，直接得出 $m=1$。
2. 柯西不等式乘“1”化简证明：已知目标要求证 $a+2b+3c\ge 9$，且已知条件为 $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$。利用经典的**“乘1代换法”**，将目标式乘以已知条件式展开，套用二维/三维柯西不等式 $\left(\sum x_i^2\right)\left(\sum y_i^2\right)\ge {\left(\sum x_i{y}_i\right)}^2$ 直接配对消项完成不等号论证。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 选修 4-2：$a=1$，$b=1$；$(M^2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$

(2) 选修 4-4：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$；直线 $l$ 与圆 $C$ 相交

(3) 选修 4-5：$m=1$；证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）矩阵与变换

（Ⅰ）解： 设曲线 $2x^2+2xy+y^2=1$ 上任意一点为 $P(x,y)$，在矩阵 $M$ 对应的线性变换作用下的像为点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$。 根据矩阵与变换的乘法运算法则，满足如下矩阵映射方程： $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+0\\ bx+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax\\ bx+y\end{array}\right)$ 由此导出新旧坐标之间的线性方程组： $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=ax\\ y^{\prime }=bx+y\end{array}$

因为变换后得到的像点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 严格坐落在已知新曲线（单位圆） $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=1$ 上， 我们将上述坐标表达式直接代入该单位圆方程中： $(ax{)}^2+(bx+y{)}^2=1$ 将各项完全平方展开并合并同类项，整理成关于原坐标 $x,y$ 的二次齐次式形式： $a^2{x}^2+b^2{x}^2+2bxy+y^2=1⟹(a^2+b^2)x^2+2bxy+y^2=1$

由于该方程所代表的几何形体与原曲线 $2x^2+2xy+y^2=1$ 完全等价， 根据待定系数法，两方程对应项的代数系数必须严格相等，对齐建立方程组： $\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=2\text{(1)}\\ 2b=2\text{(2)}\end{array}$ 由②式直接解得： $b=1$ 将 $b=1$ 代入①式中： $a^2+1=2⟹a^2=1⟹a=\pm 1$ 因为题目中已知硬性约束条件 $a>0$，所以取正数： $a=1$

综上所述，实数 $a,b$ 的值分别为： $a=1,b=1$。

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）求得的参数值，确定出线性变换矩阵 $M$ 的标准形式为： $M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ 首先计算矩阵的平方 $M^2$（依据矩阵乘法“横行乘竖列”原则）： $M^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\times 1+0\times 1& 1\times 0+0\times 1\\ 1\times 1+1\times 1& 1\times 0+1\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$

下面求解二阶矩阵 $M^2$ 的逆矩阵。 对于任意标准二阶矩阵 $\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$，其行列式为 $D=AD-BC$。 计算矩阵 $M^2$ 的行列式值： $|M^2|=1\times 1-0\times 2=1$ 利用二阶矩阵求逆主副对角线法则（“主对角线对调，副对角线变号，外面乘以行列式的倒数”）： $(M^2{)}^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}1& -0\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$

所以， $M^2$ 的逆矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$。

（2）坐标系与参数方程

（Ⅰ）解： 首先将点 $M,N$ 的极坐标转化为平面直角坐标。 已知极坐标与直角坐标的转换通式为 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$：

• 对于点 $M(2,0)$： $x_M=2\times \cos 0=2,y_M=2\times \sin 0=0⟹M(2,0)$
• 对于点 $N\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\pi }{2}\right)$： $x_N=\frac{2\sqrt{3}}{3}\times \cos \frac{\pi }{2}=0,y_N=\frac{2\sqrt{3}}{3}\times \sin \frac{\pi }{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}⟹N\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

因为点 $P$ 为线段 $MN$ 的中点，根据中点坐标公式，点 $P$ 的直角坐标为： $x_P=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{2+0}{2}=1,y_P=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{0+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹P\left(1,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

直线 $OP$ 是一条经过坐标原点 $O(0,0)$ 的直线，其斜率 $k$ 为： $k=\frac{y_P-0}{x_P-0}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 故由正比例函数模型 $y=kx$ 可得直线 $OP$ 的直角坐标方程为： $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\left(\text{或写为 }\sqrt{3}x-3y=0\right)$

（Ⅱ）解： 直线 $l$ 为经过点 $M(2,0)$ 和 $N\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ 的直线。 利用直线的截距式方程 $\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}=1$ 快速建立直线 $l$ 的方程： $\frac{x}{2}+\frac{y}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=1⟹\frac{x}{2}+\frac{3y}{2\sqrt{3}}=1⟹\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}y}{2}=1$ 两边同时乘以 2，化为标准的一般式方程： $x+\sqrt{3}y-2=0\text{(3)}$

下面将圆 $C$ 的参数方程进行参数消元化为标准方程。 已知圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2+2\cos \theta \\ y=-\sqrt{3}+2\sin \theta \end{array}$，移项得： $\{\begin{array}{l}x-2=2\cos \theta \\ y+\sqrt{3}=2\sin \theta \end{array}$ 两式两边分别平方并相加，利用同角平方和三角恒等式 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 消去参数 $\theta$： $(x-2{)}^2+(y+\sqrt{3}{)}^2=(2\cos \theta {)}^2+(2\sin \theta {)}^2=4({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=4$ 由此确定， 圆 $C$ 是一个以 $(2,-\sqrt{3})$ 为圆心，以 $r=\sqrt{4}=2$ 为半径的标准圆。

利用点到直线的距离公式，求圆心 $C(2,-\sqrt{3})$ 到直线 $l:x+\sqrt{3}y-2=0$ 的垂直距离 $d$： $d=\frac{|1\times 2+\sqrt{3}\times (-\sqrt{3})-2|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{|2-3-2|}{\sqrt{1+3}}=\frac{|-3|}{2}=\frac{3}{2}$

比较圆心到直线的距离 $d$ 与圆的半径 $r$ 的大小关系： 因为 $d=\frac{3}{2}=1.5$，而 半径 $r=2$，显然满足： $d<r$

根据平面解析几何中线圆位置关系的判定定理，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆有两处交点。 所以，直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系为：相交。

（3）不等式选讲

（Ⅰ）解： 已知函数为 $f(x)=m-|x-2|$。我们写出复合函数 $f(x+2)$ 的表达式（即用 $x+2$ 替换原式中的 $x$）： $f(x+2)=m-|(x+2)-2|=m-|x|$

题目已知不等式 $f(x+2)\ge 0$ 的解集。我们将解析式代入该不等式中： $m-|x|\ge 0⟹|x|\le m$

下面根据实数参数 $m$ 的取值进行绝对值几何意义拆解：

• 若 $m<0$， 绝对值 $\le$ 负数，不等式在实数域内无解（解集为空集），不符题意；
• 若 $m\ge 0$， 根据去绝对值有界化法则，不等式等价于如下对称闭区间： $-m\le x\le m⟹x\in [-m,m]$

因为已知该不等式的解集严格为 $[-1,1]$，对照区间的端点值可得： $m=1$

所以， $m$ 的值为 1。

（Ⅱ）证明： 由（Ⅰ）求得的参数值 $m=1$ 代入已知条件中，可得正实数 $a,b,c$ 满足如下刚性倒数和约束： $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$

我们需要求证目标式 $a+2b+3c\ge 9$。 由于各变量 $a,2b,3c$ 均为正实数，我们利用经典的**“乘1代换法”**，将目标求证式乘以常数 1（即乘以已知条件等式左端），展开构造柯西不等式结构： $\text{左边}=a+2b+3c=(a+2b+3c)\times 1=(a+2b+3c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}\right)$

为了严密套用三维空间下的三维柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality） $\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)\left(y_1^2+y_2^2+y_3^2\right)\ge {\left(x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3\right)}^2$，我们将各项全部改写为带有根号的平方标准形： $\text{左边}=\left[(\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{2b}{)}^2+(\sqrt{3c}{)}^2\right]\cdot \left[{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2b}}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{3c}}\right)}^2\right]$

根据柯西不等式定理，两括号内项对应项相乘再求和的平方，构成了其刚性的下限防线： $\ge {\left(\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{2b}\cdot \frac{1}{\sqrt{2b}}+\sqrt{3c}\cdot \frac{1}{\sqrt{3c}}\right)}^2$ 对括号内部的各项分式进行完全约分消项： $\sqrt{a}\cdot \frac{1}{\sqrt{a}}=1,\sqrt{2b}\cdot \frac{1}{\sqrt{2b}}=1,\sqrt{3c}\cdot \frac{1}{\sqrt{3c}}=1$ 代入上式计算常数： $\ge (1+1+1{)}^2=3^2=9$

分析等号成立的充分必要边界条件： 根据柯西不等式等号成立的充要条件（对应分量成比例），等号成立当且仅当： $\frac{\sqrt{a}}{\frac{1}{\sqrt{a}}}=\frac{\sqrt{2b}}{\frac{1}{\sqrt{2b}}}=\frac{\sqrt{3c}}{\frac{1}{\sqrt{3c}}}⟹a=2b=3c$ 将此代回已知条件 $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$ 中，解得： $\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=1⟹\frac{3}{a}=1⟹a=3$ 从而此时 $2b=3⟹b=\frac{3}{2}$， $3c=3⟹c=1$。 因为存在该组唯一的正实数解使等号成立，所以该有界性命题无损成立。

综上所述， 不等式 $a+2b+3c\ge 9$ 严格得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：

• （1）选修4-2：二阶矩阵的线性变换坐标映射、矩阵乘法的阶数对齐、二阶逆矩阵伴随公式的应用。
• （2）选修4-4：极坐标分量向直角坐标转化公式、圆的参数方程去参消元、点到直线距离公式的位置判定。
• （3）选修4-5：绝对值不等式基本解集的反向限位、三维柯西不等式或三元均值不等式的配对求最值。

2. 核心方法：

• “乘1”柯西配对法：在不等式选讲大题中，凡是看到已知条件是一组变量的倒数和恒等于一个常数（如 $\sum \frac{1}{x_i}=C$ ），而要求证的是这组变量的线性加权和（如 $\sum A_i{x}_i$ ）的下限值时，最强力、最不需要动脑的万能解法就是将求证式乘以条件式（即乘以1），直接强行展开套用柯西不等式。这种方法不仅速度极快，而且相比于套用权方和不等式或多次套用均值不等式，其等号成立条件的审查最为严密，不易失分。

3. 避坑指南：

• （1）小题中矩阵乘法顺序颠倒：矩阵乘法不满足交换律（即 $AB\ne BA$ ）。在求解 $M^2$ 时，务必严格按照从左往右的顺序对齐行列计算。
• （2）小题中点到直线距离公式分子漏掉绝对值：在求距离 $d=\frac{|2-3-2|}{\sqrt{4}}$ 时，分子算出来是 $-3$，务必加上绝对值符号变为正数 $3$，否则算出负数距离在立体几何或解析几何大题中属于原则性零分低级错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是老高考（福建卷理科数学）中连续多年雷打不动的三个选考课外拓展模块。其代数内核分别对接了高等代数中的“线性变换与矩阵代数”、解析几何中的“非笛卡尔坐标系统下的流形表达”、以及数学分析中的“经典分析不等式有界性级数理论”。
2. 结论推广:

• 多元倒数和齐次柯西不等式通用推广模型：设有一组任意维度的正实数序列 $\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}\in {\mathbb{R}}^{+}$。若它们与一组给定的加权正系数因子 $\{k_1,k_2,\cdots ,k_n\}$ 之间，满足标准的倒数和有界硬约束： $\frac{k_1}{x_1}+\frac{k_2}{x_2}+\cdots +\frac{k_n}{x_n}=M$
• 则对于该序列的线性反向同向加权和，利用 $N$ 维齐次柯西不等式进行“乘 1 拓扑展开”后，其下限收敛边界满足如下高度对称的通用推广快捷通式： $x_1+x_2+\cdots +x_n\ge \frac{(\sqrt{k_1}+\sqrt{k_2}+\cdots +\sqrt{k_n}{)}^2}{M}$
• 我们用本题第（3）问的参数对齐该推广模型进行瞬时复核：已知维度 $n=3$，约束常数 $M=1$。且各特征系数为： $\text{由 }a+2b+3c⟹x_1=a,x_2=2b,x_3=3c$ $\text{代入条件中： }\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1⟹\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=1⟹k_1=1,k_2=1,k_3=1$
• 直接带入该柯西推广快捷公式口算： $\text{左边总和 }=a+2b+3c\ge \frac{(\sqrt{1}+\sqrt{1}+\sqrt{1}{)}^2}{1}=\frac{3^2}{1}=9$
• 证明一步抽离，完全契合。熟练掌握这一柯西代换模型，能让你在面对任何高维度、多变量的复杂不等式大题时，均能做到秒看穿代数终点，稳拿大题满分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系 类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-21 解-附加四选二

• 2009-江苏卷-21 解-附加四选二

• 2010-江苏卷-21 解-选做四选二