2008-江苏卷-21 解-附加四选二

本题导读

附加题四选二。A 用弦切角推等腰再套切割线定理；B 矩阵变换代入消元；C 柯西不等式直接放缩；D 基本不等式两步串联合理。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） （本题为选做题，在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 $10$ 分，共计 $20$ 分） （选修 4-1：几何证明选讲）【A】 如图，设三角形 $ABC$ 的外接圆的切线 $AE$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $E$，$\angle BAC$ 的平分线与 $BC$ 交于点 $D$. 求证：$E{D}^2=EC\cdot EB$. （选修 4-2：矩阵与变换）【B】 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设椭圆 $4x^2+y^2=1$ 在矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ 对应的变换下得到曲线 $F$，求 $F$ 的方程. （选修 4-4：坐标系与参数方程）【C】 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $P(x,y)$ 是椭圆 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ 上的一个动点，求 $S=x+y$ 的最大值. （选修 4-5：不等式选讲）【D】 设 $a$，$b$，$c$ 为正实数，求证：$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+abc⩾2\sqrt{3}$.

🔍【思路分析】

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1. A：弦切角 $\angle EAC=\angle ABC$，加上角平分线与外角拼凑得 $\angle EAD=\angle ADE$，等腰后用切割线定理。
2. B：变换 $X=2x$，$Y=y$，反解后代入原椭圆。
3. C：把 $S$ 凑成柯西不等式的标准形式。
4. D：前三项用基本不等式，再与 $abc$ 串联一次。

✅【答案】

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A：见解析；B：$x^2+y^2=1$；C：$S$ 的最大值为 $2$；D：见解析

✍【详细解析】

Abstract

A：因为 $AE$ 是圆的切线，由弦切角定理，$\angle EAC=\angle ABC$。 又 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle BAD=\angle CAD$。 $D$ 在 $BC$ 上、$E$ 在 $BC$ 延长线上，$\angle ADE$ 是三角形 $ABD$ 的外角， 故 $\angle ADE=\angle ABD+\angle BAD$；而 $\angle EAD=\angle EAC+\angle CAD$。 于是 $\angle EAD=\angle ABC+\angle BAD=\angle ABD+\angle BAD=\angle ADE$， 所以三角形 $EAD$ 是等腰三角形，$EA=ED$。 由切割线定理，$E{A}^2=EC\cdot EB$，代入即得 $E{D}^2=EC\cdot EB$。 B：设原椭圆上点 $(x,y)$ 变换后为 $(X,Y)$，则 $X=2x$，$Y=y$，即 $x=\frac{X}{2}$，$y=Y$。 代入 $4x^2+y^2=1$ 得 $4{\left(\frac{X}{2}\right)}^2+Y^2=1$，即 $X^2+Y^2=1$。 所以曲线 $F$ 的方程为 $x^2+y^2=1$。 C：由柯西不等式，$S=x+y=\frac{x}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}+y\cdot 1⩽\sqrt{\frac{x^2}{3}+y^2}\cdot \sqrt{3+1}=1\times 2=2$。 当 $\frac{x}{\sqrt{3}}:y=\sqrt{3}:1$ 时取等号，取 $x=\frac{3}{2}$，$y=\frac{1}{2}$，满足 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ 且 $S=2$。 所以 $S$ 的最大值为 $2$。 D：由基本不等式，$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}⩾\frac{3}{abc}$（三项乘积为 $\frac{1}{a^3{b}^3{c}^3}$）。 记 $t=abc>0$，则左边 $⩾\frac{3}{t}+t⩾2\sqrt{\frac{3}{t}\cdot t}=2\sqrt{3}$。 当且仅当 $a=b=c$ 且 $t=\sqrt{3}$，即 $a=b=c=3^{1/6}$ 时取等号。不等式得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：附加题四选二（几何证明、矩阵变换、最值、不等式）

核心方法：A 弦切角加切割线；B 反解代入；C 柯西不等式；D 基本不等式串联

避坑指南：A 中等腰的证明要用外角拼凑，直接写”易证”会扣分；C 取等点必须代回椭圆验证；D 两次放缩的取等条件要同时满足。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：江苏附加题固定四选二结构，2009 至 2013 江苏卷同构。

结论推广：四个选修模块各出一题，难度分层明显。

方法推广：选做策略：几何证明与不等式选讲套路最稳，矩阵与参数方程计算量小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 18.16 参数方程与复数变换
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-21 解-几何证明选讲
• 2012-江苏卷-21 解-几何证明选讲
• 2013-江苏卷-21 解-几何证明选讲
• 2009-新课标卷文-22 解-四点共圆与角平分线