2012-辽宁卷文-17 解-等差角与正弦定理

本题导读

本题考查等差数列与三角形内角。核心在于正弦定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$.角 $A$，$B$，$C$ 成等差数列.

(1)求 $\cos B$ 的值；

(2)若边 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，求 $\sin A\sin C$ 的值.

🔍【思路分析】

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（1）$2B=A+C$ 且 $A+B+C=\pi$，故 $B=\frac{\pi }{3}$，$\cos B=\frac{1}{2}$；（2）$b^2=ac⟺{\sin }^{2}B=\sin A\sin C=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

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(1)$\cos B=\frac{1}{2}$；(2)$\sin A\sin C=\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由角 $A$，$B$，$C$ 成等差数列，得 $2B=A+C$。

又 $A+B+C=\pi$，故 $3B=\pi$，即 $B=\frac{\pi }{3}$，所以 $\cos B=\frac{1}{2}$。

（2）由 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，得 $b^2=ac$。

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，将上式化为

${\sin }^{2}B=\sin A\sin C$。

所以 $\sin A\sin C={\sin }^2\frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差中项与三角形内角和；正弦定理的边角互化；等比中项

核心方法：“内角成等差 → 必有一个角为 $\frac{\pi }{3}$”；“边成等比 → 正弦定理整体换成正弦”

避坑指南：三角形三个内角成等差时中间角必为 $\frac{\pi }{3}$（等差中项是 $B$，不是别的角）；（2）由 $b^2=ac$ 直接除以 $(2R{)}^2$ 化为正弦，不必解出 $a$，$c$ 的具体值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差角与等比边结合的解三角形题，与 2012 年大纲卷文第 17 题、2012 年山东卷文第 17 题同族。

结论推广：内角 $A$，$B$，$C$ 成等差 $⟺B=\frac{\pi }{3}$；正弦定理下 $b^2=ac⟺{\sin }^{2}B=\sin A\sin C$，把”边的等比”翻译成”正弦的等比”是通法。

方法推广：解三角形中”角成等差/边成等比”的条件，先用中项关系写出等式，再整体用正弦（余弦）定理转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-17 解-等差内角与正弦定理
• 2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形