2012-山东卷文-17 解-解三角形与等比数列

本题导读

本题考查同角三角函数关系。核心在于正弦定理法、余弦定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin B(\tan A+\tan C)=\tan A\tan C$.

(1)求证：$a$，$b$，$c$ 成等比数列；

(2)若 $a=1$，$c=2$，求 $△ABC$ 的面积 $S$.

🔍【思路分析】

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切化弦并通分得 ${\sin }^{2}B=\sin A\sin C$，由正弦定理得 $b^2=ac$；$a=1$，$c=2$ 时 $b=\sqrt{2}$，$\cos B=\frac{3}{4}$，$S=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

✅【答案】

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(1)见解析（即 $b^2=ac$）；(2)$S=\frac{\sqrt{7}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $\tan A+\tan C=\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sin A\cos C+\cos A\sin C}{\cos A\cos C}=\frac{\sin (A+C)}{\cos A\cos C}$，且 $A+C=\pi -B$，得 $\tan A+\tan C=\frac{\sin B}{\cos A\cos C}$。

又 $\tan A\tan C=\frac{\sin A\sin C}{\cos A\cos C}$，代入已知条件：

$\sin B\cdot \frac{\sin B}{\cos A\cos C}=\frac{\sin A\sin C}{\cos A\cos C}$，即 ${\sin }^{2}B=\sin A\sin C$。

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，得 $\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin B=\frac{b}{2R}$，$\sin C=\frac{c}{2R}$，

代入得 $\frac{b^2}{4R^2}=\frac{ac}{4R^2}$，即 $b^2=ac$，故 $a$，$b$，$c$ 成等比数列。

（2）由 $a=1$，$c=2$ 及 $b^2=ac$ 得 $b^2=2$，$b=\sqrt{2}$。

由余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{1+4-2}{2\times 1\times 2}=\frac{3}{4}$，故 $\sin B=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

于是 $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times 1\times 2\times \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数基本关系；两角和的正弦；正弦定理实现边角互化；余弦定理与三角形面积公式

核心方法：切化弦并通分约简得 ${\sin }^{2}B=\sin A\sin C$，再用正弦定理化为 $b^2=ac$；第（2）问用余弦定理定角、面积公式收尾

避坑指南：$\tan A+\tan C$ 通分后分子是 $\sin (A+C)=\sin B$，恰好与左边的 $\sin B$ 合成 ${\sin }^{2}B$，别漏这一步；求面积用 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$（已知 $a$、$c$ 与夹角所对的角）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形与等比数列交汇题，与 2013 年山东卷文第 7 题、2013 年山东卷理第 17 题同族。

结论推广：$△ABC$ 中 $\tan A+\tan C=\frac{\sin B}{\cos A\cos C}$；$b^2=ac$ 即三边成等比数列。

方法推广：解三角形证明题：切化弦 → 通分合并 → 正弦定理边角互化 → 目标式出现；求值题再用余弦定理锁定角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角
• 2013-山东卷理-17 解-余弦定理
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角