2012-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解集。核心在于分段讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） （选修 4-5：不等式选讲）已知 $f(x)=|ax+1|$（$a\in \mathbf{R}$），不等式 $f(x)⩽3$ 的解集为 $\{x\mid -2⩽x⩽1\}$.

(1)求 $a$ 的值；

(2)若 $|f(x)-2f(\frac{x}{2})|⩽k$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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（1）$-4⩽2x⩽2⟺-2⩽x⩽1$，$a=2$；（2）$g(x)=|2x+1|-2|x+1|$ 在 $x⩽-1$ 时恒为 $1$，在 $-1⩽x⩽-\frac{1}{2}$ 时为 $-4x-3\in [-1,1]$，在 $x⩾-\frac{1}{2}$ 时恒为 $-1$，故 $|g(x)|⩽1$，$k⩾1$。

✅【答案】

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(1)$a=2$；(2)$k$ 的取值范围为 $[1,+\infty )$，即 $k⩾1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $f(x)⩽3$ 得 $|ax+1|⩽3$，即 $-4⩽ax⩽2$。

若 $a=0$，则 $0⩽3$ 对一切 $x$ 成立，解集不是 $\{x\mid -2⩽x⩽1\}$，故 $a\ne 0$。

由解集为 $[-2,1]$（左端小于右端）知 $a>0$，于是 $-\frac{4}{a}⩽x⩽\frac{2}{a}$。

比较端点：$-\frac{4}{a}=-2$ 且 $\frac{2}{a}=1$，两式均得 $a=2$。

（2）由（1）$f(x)=|2x+1|$，记 $g(x)=f(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)=|2x+1|-2|x+1|$。

分段讨论：

当 $x⩽-1$ 时，$g(x)=-(2x+1)+2(x+1)=1$；

当 $-1⩽x⩽-\frac{1}{2}$ 时，$g(x)=-(2x+1)-2(x+1)=-4x-3$，其值从 $g(-1)=1$ 递减到 $g\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$，故 $g(x)\in [-1,1]$；

当 $x⩾-\frac{1}{2}$ 时，$g(x)=(2x+1)-2(x+1)=-1$。

综上，$|g(x)|⩽1$ 对一切 $x\in \mathbf{R}$ 成立，且 $x⩽-1$（或 $x=-\frac{1}{2}$ 等处）$|g(x)|=1$ 可以取到。

所以 $|f(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)|⩽k$ 恒成立等价于 $k⩾1$，即 $k$ 的取值范围为 $[1,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式 $|ax+b|⩽c$ 的解集与端点；含绝对值函数的分段化简；”$⩽k$ 恒成立 $⟺k⩾$ 最大值”

核心方法：（1）解集端点反解参数；（2）分段写 $g(x)$，求 $|g(x)|$ 的最大值

避坑指南：（1）要说明 $a>0$ 才能写 $-\frac{4}{a}⩽x⩽\frac{2}{a}$（$a<0$ 时两端反号），两个端点方程都要核对，只代一个端点无法确认 $a$；（2）中间段 $-4x-3$ 的取值范围是 $[-1,1]$，最大绝对值是 $1$ 而不是 $4$（那是斜率的绝对值）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值不等式与恒成立综合题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 24 题、2013 年新课标Ⅰ文第 24 题、2013 年大纲卷文第 4 题的知识背景同族。

结论推广：$|f(x)|⩽k$ 恒成立 $⟺k⩾\max |f(x)|$；$|2x+1|-2|x+1|$ 是分段常值/线性函数，最值必在分段点 $x=-1$，$-\frac{1}{2}$ 处或常值段上取得。

方法推广：含绝对值的恒成立问题标准流程：去绝对值分零点分段 → 写分段解析式 → 求最值 → 转化为参数不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-24 解-绝对值不等式
• 2013-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2013-大纲卷文-04 单-绝对值不等式