2012-新课标卷文-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于分段讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） （选修 4-5：不等式选讲）已知函数 $f(x)=|x+a|+|x-2|$.

(1) 当 $a=-3$ 时，求不等式 $f(x)⩾3$ 的解集；

(2) 若 $f(x)⩽|x-4|$ 的解集包含 $[1,2]$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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(1) 零点分段解得 $\{x\mid x⩽1$ 或 $x⩾4\}$；(2) 在 $[1,2]$ 上恒成立 $⟺|x+a|⩽2$ 恒成立，得 $-3⩽a⩽0$。

✅【答案】

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(1) $\{x\mid x⩽1$ 或 $x⩾4\}$ (2) $a\in [-3,0]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $a=-3$ 时 $f(x)=|x-3|+|x-2|$。

零点分段：$x⩽2$ 时 $f=5-2x⩾3⟺x⩽1$；$2<x<3$ 时 $f=1$（不合）；$x⩾3$ 时 $f=2x-5⩾3⟺x⩾4$。

解集为 \\{x\mid x\leqslant 1 或 x\geqslant 4\\}。

(2) $x\in [1,2]$ 时 $|x-2|=2-x$，$|x-4|=4-x$。$f(x)⩽|x-4|$ 即 $|x+a|+2-x⩽4-x⟺|x+a|⩽2$ 即 $-2⩽x+a⩽2$，等价于 $-2-x⩽a⩽2-x$ 对一切 $x\in [1,2]$ 成立。

$-2-x$ 在 $[1,2]$ 上递减，最大值为 $-2-1=-3$；$2-x$ 递减，最小值为 $2-2=0$。

故 $-3⩽a⩽0$，即 $a$ 的取值范围为 $[-3,0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式的零点分段解法；绝对值恒成立的参数夹逼

核心方法：零点分段列表解 (1)；(2) 先在给定区间化简 $|x-2|$，再把恒成立压成 $a$ 的两端夹逼

避坑指南：①(2) 第一步必须用 $x\in [1,2]$ 化简 $|x-2|=2-x$，不化简硬分类会绕远且易错；②”解集包含 $[1,2]$“即”$[1,2]$ 上恒成立”，双向夹逼时左取 max、右取 min。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值选讲标准题，与 2013 年新课标Ⅰ文第 24 题、2014 年新课标Ⅰ文第 24 题同族（全国卷选讲常客）。

结论推广：一般地，$|x+a|⩽g(x)$ 在 $I$ 上恒成立 $⟺-g(x)-x⩽a⩽g(x)-x$ 对 $I$ 成立 $$\begin{gathered} ⟺a\in [\max (-g-x), \\ \min (g-x)] \end{gathered}$$。

方法推广：绝对值恒成立参数题三步：区间内化简各绝对值 → 移项成 $|x+a|⩽h(x)$ → 对两端分别取最值夹逼。

🔗【关联脉络】

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• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

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