2012-辽宁卷理-06 单-数列递推

本题导读

本题考查等差数列的通项性质，以及等差中项。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_4+a_8=16$，则该数列前 11 项和 $S_{11}=$ ()

A. 58　　　　　　B. 88　　　　　　C. 143　　　　　　D. 176

🔍【思路分析】

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1. 方法一：整体代换法（高效通法）

• 回顾等差数列前 $n$ 项和的倒序相加型公式： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。
• 对于 $S_{11}$，公式展现为 $S_{11}=\frac{11(a_1+a_{11})}{2}$。
• 依据等差数列的性质，若项数满足 $i+j=p+q$，则对应项满足 $a_i+a_j=a_p+a_q$。
• 观察发现已知项下标满足 $4+8=12$，目标项下标满足 $1+11=12$，二者完全对齐，可直接进行整体代换。

2. 方法二：中项映射法（快捷法）

• 依据等差中项性质， $a_4+a_8=2a_6=16⟹a_6=8$。
• 奇数项的前 $n$ 项和满足中项对称： $S_{11}=11\cdot a_6$。直接乘法即可得出结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：整体代换法

根据等差数列的前 $n$ 项和公式，前 11 项和 $S_{11}$ 可表示为： $S_{11}=\frac{11(a_1+a_{11})}{2}$

因为 数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，根据等差数列的性质，当项数下标满足 $i+j=p+q$ 时，有 $a_i+a_j=a_p+a_q$。 观察下标关联： $1+11=4+8=12$

所以，满足下列整体代数对齐： $a_1+a_{11}=a_4+a_8$

将已知条件 $a_4+a_8=16$ 整体代入上式中，可得： $a_1+a_{11}=16$

将此结果反代回求和公式： $S_{11}=\frac{11\times 16}{2}=11\times 8=88$

故选 B#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：等差数列下标和性质（ $m+n=p+q⟹a_m+a_n=a_p+a_q$ ）、前 $n$ 项和中项公式。
2. 核心方法：整体代换法。
3. 避坑指南：

• 避免盲目设首项 $a_1$ 和公差 $d$ 列方程组。虽然通过 $a_1+3d+a_1+7d=16⟹2a_1+10d=16$ 也能解出 $S_{11}=11a_1+55d=5.5(2a_1+10d)=5.5\times 16=88$，但引入多余基本量会极大地浪费选择题的解题时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中等差数列前 $n$ 项和性质应用的课后高频主干必做基础题。
2. 结论推广：本题可推广至一般的奇数项中项求和模型：在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若已知对称的两项之和 $a_k+a_{2m-k}=X$（其中 $m$ 为正整数），则以 $m$ 为正中项的奇数项前 $2m-1$ 项和恒满足： $S_{2m-1}=(2m-1)\cdot a_m=\frac{2m-1}{2}\cdot X$ 在本题中，已知 $a_4+a_8=16$，中项为 $a_6$，要求前 $2\times 6-1=11$ 项的和，直接套用推广模型可一步心算秒得 $S_{11}=\frac{11}{2}\times 16=88$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结 类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项

• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质

• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项