2012-辽宁卷理-19 解-概率

本题导读

本题考查频率分布直方图的性质与应用。核心在于公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”.

(1)根据已知条件完成下面的 $2\times 2$ 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

| | 非体育迷 | 体育迷 | 合计 | | 男 | | | | | 女 | | 10 | 55 | | 合计 | | | |

(2)将上述调查所得的频率视为概率. 现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取一名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 $X$. 若每次抽取的结果是相互独立的，求 $X$ 的分布列，期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$.

附：${\chi }^2=\frac{n(n_{11}{n}_{22}-n_{12}{n}_{21}{)}^2}{n_{1\cdot }{n}_{2\cdot }{n}_{\cdot 1}{n}_{\cdot 2}}$，

| $P({\chi }^2\ge k)$ | 0.05 | 0.01 | | $k$ | 3.841 | 6.635 |

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问列联表补全与卡方计算：

• 读取频率分布直方图：不低于 40 分钟的区间为 $[40,50)$ 和 $[50,60]$。利用 $\text{频率}=\text{组距}\times \frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，计算出“体育迷”的总频率，进而乘以样本总容量 $n=100$ 得到“体育迷”的总人数。
• 倒推列联表：利用各行、各列的合计关系，层层作差补全 $2\times 2$ 列联表中的所有空白项。
• 卡方校验：将列联表中的四个核心频数代入公式计算出 ${\chi }^2$ 的观测值，与临界值 $3.841$ 进行大小比对得出统计学结论。

2. 第二问二项分布建模求值：

• 确定单次概率 $p$：由直方图算出的“体育迷”频率为 $0.25$，将其直接视为单次随机抽到“体育迷”的概率 $p=\frac{1}{4}$。
• 识别模型：由于是“有放回地独立重复抽取 3 次”，随机变量 $X$ 严格服从二项分布，即 $X\sim B\left(3,\frac{1}{4}\right)$。
• 计算分布列与数字特征： $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$，利用公式 $P(X=k)=C_3^k{p}^k(1-p{)}^{3-k}$ 依次计算概率列出表格。期望与方差可直接套用二项分布性质公式 $E(X)=np$ 和 $D(X)=np(1-p)$ 瞬间破题。

✅【答案】

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(1) 列联表见解析，认为“体育迷”与性别无关

(2) $E(X)=\frac{3}{4}$，$D(X)=\frac{9}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：完成 $2\times 2$ 列联表并进行独立性检验

由频率分布直方图可知，日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟（即“体育迷”）的频率为： $P=(0.020+0.005)\times 10=0.025\times 10=0.25$

因为 调查的观众总人数为 $n=100$ 名， 所以 100 名观众中“体育迷”的总人数为： $100\times 0.25=25\text{ (人)}$ 从而 “非体育迷”的总人数为： $100-25=75\text{ (人)}$

结合表格中已知条件：女性总人数为 55 人，其中女性“体育迷”为 10 人。

• 男性总人数 $=100-55=45\text{ (人)}$；
• 男性“体育迷”人数 $=25-10=15\text{ (人)}$；
• 男性“非体育迷”人数 $=45-15=30\text{ (人)}$；
• 女性“非体育迷”人数 $=55-10=45\text{ (人)}$。

补全后的 $2\times 2$ 列联表如下：

	非体育迷	体育迷	合计
男	30	15	45
女	45	10	55
合计	75	25	100

根据列联表中的数据，计算统计量 ${\chi }^2$ 的观测值： ${\chi }^2=\frac{100\times (30\times 10-15\times 45{)}^2}{45\times 55\times 75\times 25}=\frac{100\times (300-675{)}^2}{45\times 55\times 75\times 25}=\frac{100\times (-375{)}^2}{45\times 55\times 75\times 25}$

为了简化计算，将分数线上下进行约分化简： ${\chi }^2=\frac{100\times 375\times 375}{45\times 55\times 75\times 25}=\frac{100\times 5\times 15}{45\times 55}=\frac{100\times 75}{2475}=\frac{7500}{2475}=\frac{100}{33}\approx 3.030$

因为 $3.030<3.841$， 所以 我们没有充分的把握认为“体育迷”与性别有关。

（2）解：求 $X$ 的分布列，期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$

由（1）可知，从观众中随机抽出一名观众是“体育迷”的概率为 $p=0.25=\frac{1}{4}$，则不是“体育迷”的概率为 $1-p=\frac{3}{4}$。 因为 每次抽取结果相互独立，且重复进行了 3 次， 所以 随机变量 $X$ 服从二项分布，即： $X\sim B\left(3,\frac{1}{4}\right)$

随机变量 $X$ 的所有可能取值为：0, 1, 2, 3。 分别计算各取值对应的概率： $P(X=0)=C_3^0\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^0\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=1\times 1\times \frac{27}{64}=\frac{27}{64}$ $P(X=1)=C_3^1\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^1\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=3\times \frac{1}{4}\times \frac{9}{16}=\frac{27}{64}$ $P(X=2)=C_3^2\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^1=3\times \frac{1}{16}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{64}$ $P(X=3)=C_3^3\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^0=1\times \frac{1}{64}\times 1=\frac{1}{64}$

故 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3
$P$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

由于 $X$ 服从二项分布 $B(n,p)$，其数字特征可直接套用公式求得：

• 数学期望： $E(X)=np=3\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

• 方差： $D(X)=np(1-p)=3\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$

故答案为： （1）列联表见解析，认为“体育迷”与性别无关； （2）分布列见解析， $E(X)=\frac{3}{4}$， $D(X)=\frac{9}{16}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直方图面积等于频率（$\text{矩形高}\times \text{组距}$）、$2\times 2$ 列联表的交叉填补、二项分布（伯努利试验）通项概率的提取。
2. 核心方法：频率视作概率模型法。
3. 避坑指南：

• 第一问计算频率时，切记要乘以组距 10。很多同学直接把直方图纵坐标相加 $(0.020+0.005)=0.025$ 当成频率，导致后续频数全面扩大或缩小，这是直方图最经典也是发生率最高的“低级地雷”。
• 最终作答独立性检验时，注意措辞的严谨性。由于卡方值小于 $3.841$，结论应当规范表述为“没有充分的把握认为…有关”或“认为…无关”，避免使用过于绝对的口语化断言。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》与第七章《随机变量及其分布》相交汇的高考统计概率经典解答大题。
2. 结论推广：本题第一问所采用的 ${\chi }^2$ 检验在现代数理统计学中被称为皮尔逊卡方检验（Pearson’s chi-squared test）。 其代数结构本质上是对实际观测频数（$f_o$）与理论期望频数（$f_e$）之间偏离程度的归一化加权测度，通项可一般化表达为： ${\chi }^2=\sum \frac{(f_o-f_e{)}^2}{f_e}$ 高考将其简化包装为了行列交叉相乘的 $2\times 2$ 快捷公式。深刻理解这种将实际频数与期望频数对比的数理本质，可以帮助我们在面对复杂的多分类统计大题时，保持清晰的宏观数据透视直觉。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

• 15.02 随机事件、关系与独立性 类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列

• 2008-大纲卷I理-20

• 2008-福建卷理-20