2012-重庆卷文-10 单-复合函数与不等式

本题导读

本题考查复合函数，以及一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 设函数 $f(x)=x^2-4x+3$，$g(x)=3^x-2$，集合 $M=\{x\in \mathbf{R}\mid f(g(x))>0\}$，$N=\{x\in \mathbf{R}\mid g(x)<2\}$，则 $M\cap N$ 为()

A. $(1,+\infty )$　　　　B. $(0,1)$　　　　C. $(-1,1)$　　　　D. $(-\infty ,1)$

🔍【思路分析】

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$f(g(x))>0⟺g(x)<1$ 或 $g(x)>3$；$N:3^x<4$。注意 ${\log }_{3}4<{\log }_{3}5$，交集只剩 $(-\infty ,1)$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$f(t)=t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$，故 $f(g(x))>0⟺g(x)<1$ 或 $g(x)>3$。

① $g(x)<1$：$3^x-2<1⟺3^x<3⟺x<1$；

② $g(x)>3$：$3^x-2>3⟺3^x>5⟺x>{\log }_{3}5$。

所以 $M=(-\infty ,1)\cup ({\log }_{3}5,+\infty )$。

$N=\{x\mid 3^x-2<2\}=\{x\mid 3^x<4\}=(-\infty ,{\log }_{3}4)$。

由 ${\log }_{3}4<{\log }_{3}5$，得 $M\cap N=(-\infty ,1)$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复合函数不等式（把内层当作整体）；指数不等式的单调性；集合交集

核心方法：“外层先分解因式、内层再换元”，两个不等式分别解完后借助单调性比较 ${\log }_{3}4$ 与 ${\log }_{3}5$ 的大小

避坑指南：容易漏掉 $g(x)>3$ 那一支而解成 $(-\infty ,1)$ 之外的其它区间；判断交集时须比较 ${\log }_{3}4$ 与 ${\log }_{3}5$，不能想当然认为 $N\subseteq M$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复合函数与集合交集综合题，与 2013 年四川卷文第 10 题、2013 年重庆卷文第 7 题同族。

结论推广：$f(g(x))>0$ 型：先把外层因式分解成 $(g-a)(g-b)>0$，得到关于 $g(x)$ 的两个不等式，再逐个用内层函数的单调性反解 $x$。

方法推广：复合不等式按”外层定内层范围 → 内层反解自变量”两步走，中间用数轴（或区间）合并。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-10 单-复合函数方程
• 2013-重庆卷文-07 单-二次不等式韦达
• 2013-安徽卷理-06 单-不等式的解集