2013-重庆卷文-07 单-二次不等式韦达

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法，以及二次方程根与系数的关系。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 关于 $x$ 的不等式 $x^2-2ax-8a^2<0$（$a>0$）的解集为 $(x_1,x_2)$，且 $x_2-x_1=15$，则 $a=$()

A. $\frac{5}{2}$　　　　　　B. $\frac{7}{2}$　　　　　　C. $\frac{15}{4}$　　　　　　D. $\frac{15}{2}$

🔍【思路分析】

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1. $x^2-2ax-8a^2=(x-4a)(x+2a)$，$a>0$ → 解集 $(-2a,4a)$。
2. $x_1=-2a$，$x_2=4a$ → $x_2-x_1=6a=15$ → $a=\frac{5}{2}$ → A。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

将左边因式分解： $x^2-2ax-8a^2=(x-4a)(x+2a).$ 因为 $a>0$，所以 $-2a<4a$，故不等式的解集为 $(-2a,4a),x_1=-2a,x_2=4a.$ 于是 $x_2-x_1=4a-(-2a)=6a=15⟹a=\frac{5}{2}.$ 用韦达定理检验：$x_1+x_2=2a$，$x_1{x}_2=-8a^2$，故 $(x_2-x_1{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=4a^2+32a^2=36a^2,$ 即 $x_2-x_1=6a$（$a>0$），同样得 $a=\frac{5}{2}$。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参一元二次不等式与韦达定理

核心方法：$x^2-2ax-8a^2<0$（$a>0$）$\iff (x-4a)(x+2a)<0$ → 解集 $(-2a,4a)$，故 $x_1=-2a$，$x_2=4a$，$x_2-x_1=6a=15$ → $a=\frac{5}{2}$

避坑指南：因式分解后由 $a>0$ 定大小：$-2a<4a$，所以 $x_1=-2a$、$x_2=4a$；若不比较大小，把 $x_2-x_1$ 写成 $-6a$ 会解出负的 $a$（与 $a>0$ 矛盾）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一元二次不等式的解法（含参）。

结论推广：十字相乘因式分解；由参数符号定区间端点；韦达定理。

方法推广：因式分解 → 写解集（注意 $a>0$ 定端点大小） → 由 $x_2-x_1=15$ 解 $a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-04 单-绝对值不等式
• 2013-安徽卷文-20 解-区间长度最值
• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值