2012-重庆卷理-10 单-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式表示的平面区域，以及反比例函数与对偶代数图形。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)） 设平面点集 $A=\left\{(x,y)|(y-x)\left(y-\frac{1}{x}\right)\ge 0\right\}$，$B=\left\{(x,y)|(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 1\right\}$，则 $A\cap B$ 所表示的平面图形的面积为()

A. $\frac{3}{4}\pi$　　　　　　　B. $\frac{3}{5}\pi$　　　　　　　C. $\frac{4}{7}\pi$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 深入剖析圆盘集合 $B$ 的形态：

• 集合 $B$ 表示的是以 $M(1,1)$ 为圆心，以 $R=1$ 为半径的封闭圆盘。其总面积为 $S_B=\pi R^2=\pi$。
• 注意圆心 $M(1,1)$ 恰好落在第一象限的对角平分线 $y=x$ 上，说明整个集合 $B$ 对应的图形关于直线 $y=x$ 呈现完美的轴对称。

2. 拆解非线性不等式点集 $A$：

• 不等式 $(y-x)\left(y-\frac{1}{x}\right)\ge 0$ 根据乘积“同号得正”的原则，可拆分为两个独立的平面区域：
  • 区域一（双大）： $\{\begin{array}{l}y\ge x\\ y\ge \frac{1}{x}\end{array}$ （直线 $y=x$ 的上方，且双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 的上方）
  • 区域二（双小）： $\{\begin{array}{l}y\le x\\ y\le \frac{1}{x}\end{array}$ （直线 $y=x$ 的下方，且双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 的下方）

3. 寻找交集区域的对称关联（核心突破）：

• 考虑在圆盘 $B$ 内部，直线 $y=x$ 将圆盘精准平分为面积相等的左右（或上下）两个半圆。
• 观察双曲线 $y=\frac{1}{x}$，它关于直线 $y=x$ 同样具有严格的自对称性（交换 $x,y$ 方程保持完全不变）。
• 在直线 $y=x$ 的上方（即 $y\ge x$ 的半圆内），合规点集要求同时满足 $y\ge \frac{1}{x}$；而在直线 $y=x$ 的下方（即 $y\le x$ 的半圆内），合规点集要求同时满足 $y\le \frac{1}{x}$。

4. 利用图像几何割补完成快速得出：

• 借助镜面对称性，被双曲线在左半圆内“挖去”的空白区域，其几何形状与在右半圆内被双曲线“多纳”进来的阴影区域完全是一对大小相等、镜像对称的图形。
• 通过将其中一侧的弓形面积剪下，无缝填补拼凑到另一侧的空白中，整个复杂的交集图形 $A\cap B$ 经过割补后，恰好组装成了半个完美的标准圆盘，从而使面积求解退化为直接除以 2。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：明确集合 $B$ 的平面几何特征 集合 $B:(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 1$ 表示一个封闭的圆盘区域。

• 其圆心坐标为 $M(1,1)$，半径 $R=1$；
• 整个圆盘的总代数面积为： $S_{\text{总}}=\pi R^2=\pi \times 1^2=\pi$。
• 显见，圆心 $M(1,1)$ 满足直线方程 $y=x$。因此，直线 $y=x$ 是该圆的一条直径所在的轴线，它将圆盘 $B$ 严格对称地平分为面积相等的两个半圆。

第二步：将集合 $A$ 的乘积不等式化简分类 不等式 $(y-x)\left(y-\frac{1}{x}\right)\ge 0$ 的两个因子乘积非负，满足“同号”原则，可等价化简拆分为以下两组联立一阶不等式组： $A_1:\{\begin{array}{l}y\ge x\\ y\ge \frac{1}{x}\end{array}\text{或}{A}_2:\{\begin{array}{l}y\le x\\ y\le \frac{1}{x}\end{array}$

由于圆盘 $B$ 整体深嵌在第一象限（因为圆上点的坐标界限满足 $x\in [0,2],y\in [0,2]$），我们只需聚焦于第一象限内的双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 分布。

第三步：利用关于直线 $y=x$ 的对称性进行割补分析 在第一象限中，双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 与对角平分线 $y=x$ 的交点可以通过联立方程解得： $x=\frac{1}{x}⟹x^2=1⟹x=1⟹y=1$ 即交点恰好就是圆盘的圆心 $M(1,1)$。

现在，我们分析直线 $y=x$ 两侧的半圆内，目标交集区域 $A\cap B$ 的面积分布：

1. 在左上方的半圆区域内（满足 $y\ge x$）： 符合点集 $A_1$ 的要求，图形必须落在双曲线的上方（ $y\ge \frac{1}{x}$ ）。这意味着左上方的半圆被双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 截去了一个由曲面围成的凹弓形底座区域。
2. 在右下方的半圆区域内（满足 $y\le x$）： 符合点集 $A_2$ 的要求，图形必须落在双曲线的下方（ $y\le \frac{1}{x}$ ）。这意味着右下方的半圆除了自身边界外，刚好包含了夹在直线 $y=x$ 与双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 之间的那一部分凸拱形区域。

由于圆盘 $B$ 关于直线 $y=x$ 对称，且双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 交换 $x,y$ 轴坐标后方程完全不变，说明双曲线本身关于直线 $y=x$ 也具有严格的轴对称性。

因此，根据几何镜像对称原理： 左上方半圆内被双曲线挖掉的空白图形面积，与右下方半圆内被双曲线额外圈进来的阴影图形面积，属于完全全等的两个对偶曲边图形。

第四步：实施图形拼凑组装 我们采用对称剪补法，将右下方半圆中多出来的曲边凸起部分的面积“剪下”，平移并旋转翻折，恰好可以天衣无缝地“填补”到左上方半圆中因为要求 $y\ge \frac{1}{x}$ 而丢失的那个空白凹陷处。

经过这种无损的几何面积移位割补后，原本错综复杂的交集图形 $A\cap B$ 经过重新拼凑，其总面积在量值上变得完全等同于由直线 $y\le x$（或 $y\ge x$）割出的单侧标准半圆盘的面积。

$S_{A\cap B}=\frac{1}{2}{S}_{\text{总}}=\frac{1}{2}\times \pi R^2=\frac{1}{2}\times \pi =\frac{\pi }{2}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元二次不等式组区域的空间作图、反比例函数图像的自反轴对称性、复杂曲边几何图形面积的割补重组。
2. 核心方法：图像对称剪补法（数形结合法）。当在解析几何或导数积分大题中遇到由超越方程、反比例方程与圆锥曲线混合围成的阴影面积问题时，如果直接用定积分公式 $\int (f(x)-g(x))\text{d}x$ 求解难度极大（会陷入大量的反三角函数与对数根式积分），优先观察图形的圆心、对称轴。利用“对偶对称、负负正正得正、缺失充填”的剪补法则，往往能化腐朽为神奇，将曲边图形直接合并为标准规则图形。
3. 避坑指南：

• 盲目放弃或强行积分：很多考生一看到直线、双曲线与圆混合交织的非线性不等式，就误认为需要联立方程求出复杂的曲面交点坐标并进行分段微积分，从而因计算量恐怖直接放弃。切记高考选择题第10题重在考查数形结合的灵动洞察力，而非死算。
• 区域范围符号认错：在化简 $(y-x)\left(y-\frac{1}{x}\right)\ge 0$ 时，容易因粗心把两个不等号方向弄反（比如写成一正一负），导致画出来的图形错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》中关于平面区域与圆的方程的章末提升压轴选择题。其高等数学背景可追溯到多元微积分中的重积分区域对称性定理（Symmetry in Double Integrals）。
2. 结论推广:

• 自反双曲函数与对称圆盘面积对偶推广定理：设任意一个圆盘的圆心位于 $M(a,a)$ 且半径为 $R$ （即圆关于 $y=x$ 轴对称）。
• 若引入任意一个关于 $y=x$ 对称的自反函数曲线 $y=g(x)$ （即满足 $g(g(x))=x$，如反比例函数 $y=\frac{a^2}{x}$、指数对数对偶线等），且该曲线恰好穿过圆心 $M$。
• 则由对称乘积不等式 $(y-x)(y-g(x))\ge 0$ 围成的平面区域与该圆盘 $B$ 的交集图形面积，由于在直线两侧的波峰波谷面积严格等值对消，其最终的代数面积恒等于整个圆盘总面积的一半： $S_{\text{推广}}=\frac{1}{2}\pi R^2$
• 本题中 $g(x)=\frac{1}{x},M(1,1),R=1$，直接套用此推广通用模型，可完全免去任何区域绘画与边界分析过程，直接快速得出判定出面积为总面积的一半 $\frac{\pi }{2}$。熟记这一对称消元定理，能实现对任何高阶曲线混合区域面积问题的化繁为简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质 类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-05 单-不等式组平面区域

• 2013-江西卷理-21 解-对称性